Chủ đề này có 6 trả lời

[doctor lee]

cho a,b,c là các số thực ko âm tm 0 có 2 số nào đồng thời = 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$

cm $\sqrt{\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{2ac}{a^{2}+c^{2}}}\geq 1$

[Khoa Linh]

cho a,b,c là các số thực ko âm tm 0 có 2 số nào đồng thời = 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$

cm $\sqrt{\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{2ac}{a^{2}+c^{2}}}\geq 1$

Ta có: 

$\sum \sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}\geq \frac{\sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Mặt khác: 

$\left ( \sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca} \right )^2\geq 2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca}\geq a^2+b^2+c^2$

Từ đó suy ra đpcm 

[doctor lee]

Ta có: 

$\sum \sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}\geq \frac{\sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

cho mk hỏi tại sao lại có bđt này vậy ?

[Khoa Linh]

cho mk hỏi tại sao lại có bđt này vậy ?

suy nghĩ tí đi bạn 

$\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}\geq \frac{\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Thiết lập các BĐT còn lại 

[TranHungDao]

suy nghĩ tí đi bạn 

$\sqrt{\frac{2ab}{a^2+b^2}}\geq \frac{\sqrt{2ab}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Thiết lập các BĐT còn lại 

Nhưng đánh giá như vậy thì mỗi đánh giá sẽ có một số bằng $0$ vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ là vô lý => ĐT không xảy ra?

[Khoa Linh]

Nhưng đánh giá như vậy thì mỗi đánh giá sẽ có một số bằng $0$ vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ là vô lý => ĐT không xảy ra?

Sao có một lời giải mà cứ bắt bẻ hoài vậy, 

Dấu bằng xảy ra khi a=b; c=0 và các hoán vị 

Tại sao như vậy thì tự nghĩ nhé, chán thật 

[KietLW9]

cho a,b,c là các số thực ko âm tm 0 có 2 số nào đồng thời = 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac)$

cm $\sqrt{\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{2ac}{a^{2}+c^{2}}}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $\sqrt{\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2ab(a^2+b^2)}}{a^2+b^2}\geqslant \frac{\sqrt{2ab.2ab}}{a^2+b^2}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$

Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\geqslant 4$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do: $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=2+\frac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}=4(\text{Q.E.D})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị