Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn với mọi x thuộc R, biết: $ P(-x^{2}-x-1)=x^{4}+2x^{3}+2022x^{2}+2021x+2019 $
$ P(-x^{2}-x-1)=x^{4}+2x^{3}+2022x^{2}+2021x+2019 $
#1
Đã gửi 05-06-2018 - 16:26
#2
Đã gửi 09-10-2021 - 21:07
Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn với mọi x thuộc R, biết: $ P(-x^{2}-x-1)=x^{4}+2x^{3}+2022x^{2}+2021x+2019 $
Đặt $G(x)=-x^2-x-1$
Từ giả thiết ta có $P(-x^2-x-1)=(x^2+x+1-1)(x^2+x+1+2020)+2019\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow P(G(x))=(-G(x)-1)(-G(x)+2020)+2019=(G(x))^2-2019G(x)-1\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Giả sử $P(x)$ có bậc là $n$ và đa thức $H(x)$ có bậc $n-3$ sao cho $P(x)=x^3H(x)+x^2-2019x-1\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ (*)
Khi đó, $(G(x))^2-2019G(x)-1=P(G(x))=(G(x))^3H(G(x))+(G(x))^2-2019G(x)-1\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow (G(x))^3H(G(x))=0\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Ta thấy $-x^2-x-1=-(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}<0\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra đa thức $G(x)=-x^2-x-1$ luôn khác 0 với mọi $x\in \mathbb{R}$
Từ đó suy ra $H(G(x))=0\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$, điều này dẫn đến đa thức $H(x)$ có bậc $n-3$ nhưng có vô số nghiệm trong $\mathbb{R}$
Suy ra $H(x)=0\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$, từ (*) suy ra được $P(x)=x^2-2019x-1$ chính là đa thức cần tìm
- supermember, perfectstrong và LTBN thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 11
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh