Chủ đề này có 2 trả lời

[pinocchio1923]

1. Cho $ a, b, c> 0$
cmr:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \right )$
2. Cho $a, b, c\geq 0$ và $a^{^{2}}+2b^{2}+3c^{^{2}}= 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $2a^{3}+3b^{3}+4c^{3}$
3. Cho a, b, c là các số thực dương.
cmr: $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$
4. Cho $ a, b, c> 0$.
cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$
5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$
cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $
6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\geq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 19:03

[PhanThai0301]

6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

  BĐT <=> $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

  $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=>\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$.

 Tương tự ta có 2 BDDT còn lại.

 Cộng vế theo vế 3 BĐT trên và đưa về chứng minh:

       $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

<=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (Q.E.D).

 

 

 

 

[KietLW9]

6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\geq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$

Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )

Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$ 

Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $

Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1