Chủ đề này có 3 trả lời

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 3. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq 3$

-Sáng tác-

[Duy Thai2002]

Gợi ý sử dụng phép thế Ravi.

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 3. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\geq 3$

-Sáng tác-

Ta viết lại BĐT dưới dạng: 

$\sum \frac{4ab}{a+b-c}\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{4ab}{a+b-c}-(a+b+c) \right ]\geq a+b+c$

$\sum \frac{(a+c-b)(b+c-a)}{(a+b-c)}\geq a+b+c$

Bất đẳng thức trên là BĐT quen thuộc sau: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z$

[DOTOANNANG]

Giả sử: $a\geq b\geq c$. Đặt: $x,\,y,\,z= \frac{1}{b+ c- a},\,\frac{1}{c+ a- b},\,\frac{1}{a+ c- a}\Rightarrow x \geqq y$

 

Hiển nhiên với bất đẳng thức Vornicu-Schur thì:

 

$$\frac{ab}{a+ b- c}- c+ \frac{bc}{b+ c- a}- a+ \frac{ca}{c+ a- b}- b= \frac{\left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{a+ b- c}+ \frac{\left ( b- a \right )\left ( c- a \right )}{b+ c- a}+ \frac{\left ( c- b \right )\left ( a- b \right )}{c+ a- b} \geqq 0$$

 

Spoiler

 

Ta còn có cách viết khác như sau: $\frac{ab}{a+ b- c}- c+ \frac{bc}{b+ c- a}- a+ \frac{ca}{c+ a- b}- b= z\left ( a- 2\,b+ c \right )^{2}+ \left ( 3\,z+ x- y \right )\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )+ \left (x- z \right )\left ( a- b \right )^{2}$