Chủ đề này có 7 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

[NguyenHoaiTrung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                     KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

               HẢI DƯƠNG                                                                                                                                             NĂM HỌC 2018-2019

        ----------------------------                                                                                                                             MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

  $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                                 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

                                                                                                                                                                             (Đề thi gồm 1 trang)

                                                                                                                                         ----------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (2,0 điểm)

  1) Cho $x=a+1-\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{(a+1)^2}}$ ($a>0$) và $P=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+1}{\sqrt{x^2-2x+1}}$.

  Rút gọn $P$ theo $a$

  2) Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$

  Chứng minh $\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}=8$

Câu 2: (2,0 điểm) 

 1) Giải phương trình $2(x+1)\sqrt{x+\frac{3}{x}}=x^2+7$

 2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2  & & \\ x(x+1)+y(y+1)=4 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3: (2,0 điểm)

 1) Đặt $N=a_1 +a_2 +a_3 +...+a_{2017}+a_{2018}$,$M=a_1^5+a_2^5 +a_3^5 +...+a_{2017}^5+a_{2018}^5$. với $a_1,a_2,a_3,...,a_{2017},a_{2018}$ là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $N$ chia hết cho $30$  thì $M$ chia hết cho $30$.

 2) Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và $k$ để $(n^8+4^{2k+1})$ là số nguyên tố.

Câu 4: (3,0 điểm)

 Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $BC$. Gọi $A$ là điểm di động trên nửa đường tròn ($A$ khác $B,C$). Kẻ $AD \perp VC$ ($D$ thuộc $BC$) sao cho đường tròn đường kính $AD$ cắt $AB,AC$ và nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E,F,G$ ($G$ khác $A$). Đường thẳng $AG$ cắt $BC$ tại $H$.

 1)Tính $\frac{AD^3}{BE.CF}$ theo $R$ và chứng minh $H, E, F$ thẳng hàng

 2) Chứng minh rằng $FG.FH+GH.CF=CG.HF$

 3) Trên $BC$ lấy $M$ cố định ($M$ khác $B,C$). Gọi $N,P$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAB$ và $MAC$. Xác định vị trí của $A$ để diện tích tam giác $MNP$ nhỏ nhất.

Câu 5: (1,0 điểm)

 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2$                                                                                                        

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 06-06-2018 - 07:59

[dat102]

2.1) $x>0$

GT tương đương với:

$2(1+\frac{1}{x})\sqrt{x+\frac{3}{x}}=x+\frac{7}{x}$

Đặt $t=\sqrt{x+\frac{3}{x}}$, ta có:

$2(1+\frac{1}{x})t=t^2+\frac{4}{x}$

$(t-2)(t-\frac{2}{x})=0$
Đến đây tự làm tiếp được rồi.

Ps: Hình như câu này trong đề KHTN năm nào đó.

Đề chuyên Hải Dương khó thật

[thanhdatqv2003]

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                     KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN QUỐC HỌC

               HẢI DƯƠNG                                                                                                                                             NĂM HỌC 2018-2019

        ----------------------------                                                                                                                             MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

  $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                                 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

                                                                                                                                                                             (Đề thi gồm 1 trang)

                                                                                                                                         ----------------------------------------------------------------------------------

 

Câu 3: (2,0 điểm)

 1) Đặt $N=a_1 +a_2 +a_3 +...+a_{2017}+a_{2018}$,$M=a_1^5+a_2^5 +a_3^5 +...+a_{2017}^5+a_{2018}^5$. với $a_1,a_2,a_3,...,a_{2017},a_{2018}$ là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $N$ chia hết cho $30$  thì $M$ chia hết cho $30$.

 

 

Câu 3: 

Ta có $a^5_{1}-a_{1}=a_{1}(a_{1}-1)(a_{1}+1)(a_{1}^{2}+1)$

Lại có $a_1(a_1-1)(a_1+1)\vdots 6$ (tích của 3 số TN liên tiếp ) hay $a_1^5-a_1\vdots 6$ (1)

Khi  $a_1$ chia cho 5 có thể có các dạng 5k;5k+1:5k+2; 5k+3

    Với $a_1=5k$ thì $a_1^5-a_1\vdots 5$

    Với $a_1=5k+1 \Rightarrow a_1-1\vdots 5\Rightarrow a_1^5-a_1\vdots 5$

    Tt với các dạng còn lại của $a_1\Rightarrow a_1^5-a_1\vdots 5$ (2)

Mà (5,6)=1

Từ (1) và (2) suy ra : $a_1^5-a_1\vdots 30$ .            tt với các cái còn lại 

$\Rightarrow M-N\vdots 30$

Vậy nếu $N$ chia hết cho $30$  thì $M$ chia hết cho $30$

[MoMo123]

Câu 5: (1,0 điểm)

 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2$                                                                                                        

 

 

Ta có

 

$$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}} =\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\frac{2a}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}$$

$$\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\frac{}{(b+c)(b+a)} \leq \frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{a+b}$$

$$\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} =\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{c}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{c}{4(b+c)}+\frac{c}{c+a}$$

Nên $$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{9}{4}$$

Ta có $\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2} \geq 7ab$

          $\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2} \geq 7bc$

          $\frac{7}{2}(b^2+c^2) \geq 7ca$

Nên $a^2+28b^2+2c^2 \geq 7(ab+bc+ca)=7$

$\Rightarrow -a^2-28b^2-28c^2 \leq -7$

Vậy $P\leq \frac{9}{4}-7 =-\frac{19}{4}$

Dấu bằng xảy ra tại $a=7b=7c$

[Tea Coffee]

 

 2) Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và $k$ để $(n^8+4^{2k+1})$ là số nguyên tố.

                                                                                                 

 

Bài toán này xuất phát từ bài toán quen thuộc: Tìm $n$ tự nhiên để $n^{4}+4\epsilon \mathbb{P}$

$P=n^{8}+4^{2k+1}=(n^{2})^{4}+2.2^{2k+1}.n^{2}+(2^{2k+1})^{2}-(2^{k+1}.n)^{2}=(n^{2}+2^{2k+1})^{2}-(2^{k+1}.n)^{2} =(n^{2}+2^{2k+1}-2^{k+1}.n)(n^{2}+2^{2k+1}+2^{k+1}.n) ...$

[Tea Coffee]

 

 2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2  & & \\ x(x+1)+y(y+1)=4 & & \end{matrix}\right.$

 

                                                                                                       

 

Trừ vế theo vế hai phương trình được:$2x^{2}+x(y-5)-(y^{2}-y-2)=0$

$\Delta _{x}=(3y-3)^{2}...$

[burning123]

ai giups minh cau hinh voi kho qua