Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$

max min

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 06-06-2018 - 19:15

Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. 

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 

$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$

(Sưu tầm)


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 zack william

zack william

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-06-2018 - 19:28

@@@@@@@@@@@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zack william: 06-06-2018 - 19:39


#3 honglien

honglien

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:-Moon-
  • Sở thích:_Sách <3

Đã gửi 06-06-2018 - 19:50

 $4P^{2}\leq 3.(\frac{4a}{a+1}+\frac{4b}{b+1}+\frac{4c}{c+1})$

<=> $4P^{2}\leq 3.(\frac{4a}{a+b+a+c}+\frac{4b}{a+b+b+c}+\frac{4c}{a+c+b+c})$

<=> $4P^{2}\leq 3.(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c})$

<=> $4P^{2}\leq 3.3$

<=> $P\leq \frac{3}{2}$

Vậy P max = $\frac{3}{2}$ <=> a=b=c=$\frac{1}{3}$


:icon12:  :icon12:  :icon12:  Nguyễn Thị Hồng Liên :icon12:  :icon12:  :icon12:

$\Omega \Omega \Omega$


#4 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 06-06-2018 - 21:19

Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. 

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 

$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$

(Sưu tầm)

Cho chiều Max, ta có đánh giá:

$$\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \leq \dfrac{9}{16}(a-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}$$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số $a \geq 0$.

Lập 2 bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh.

Cho chiều Min, ta thiết lập được: 

$$\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \geq \dfrac{a}{\sqrt{2}}$$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số $a$ thỏa mãn $0 \leq a \leq 1$

Lập 2 bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 06-06-2018 - 21:20


#5 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 07-06-2018 - 08:16

Chiều min có thể giải bằng cách khác ngoài đánh giá

Có bất đẳng thức $\frac{x}{y}+\frac{z}{t} \geq \frac{x+z}{y+t}$ với $x,z \geq 0$ ,$y,t>0$

Giả sử $c$  lớn nhất trong các số $a,b,c$ thì $c \geq \frac{1}{3}$

Do $a,b,c \geq 0$ nên

Ta có $P^2 \geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \geq \frac{a+b}{a+b+2}+\frac{c}{c+1}$

Mà $\frac{a+b}{a+b+2}+\frac{c}{c+1} -\frac{1}{2}=\frac{1-c}{3-c} +\frac{c-1}{2(c+1)}=\frac{(1-c)(3c-1)}{(3-c)(2c+2)} \geq 0$


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: max, min

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh