Chủ đề này có 6 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

Nguồn: Tạp chí Olypmic - trở lại

[NguyenHoaiTrung]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút

(Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên toán)

Câu 1 (2 điểm)
a) Cho các số thực $x,y$ khác $0$ và thỏa mãn $x^2y+xy^2=x^2-xy+y^2$. Chứng minh rằng
$\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2$. Từ đó suy ra $\frac{1}{x^3} +\frac{1}{y^3} \leq 16$
b) Giải phương trình $3(x^2-3x+1)+\sqrt{3(x^4+x^2+1)}=0$
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $x^2y^2=x^2+2xy+8y^2$
b) Cho $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng $x^2+3y^2$ với $x,y$ là các số nguyên, tức là $S=$ { $n \in \mathbb{N} \mid n=x^2+3y^2$ trong đó $x,y$ là các số nguyên}. Chứng minh các tính chất sau của dãy $S$.
1) Nếu $m \in S$, $n \in S$ thì $m.n \in S$
2) Nếu $n \in S$ và $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$.
Câu 3 (2 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhọ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x-1}+\sqrt{6-3x}$ khi $1 \leq x \leq 2$.
b) Chứng minh rằng với $x,y$ là các số thực lớn hơn $2$ thì $\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2} \geq 16$
Câu 4 (2 điểm).Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và ba đường cao $AD, BE, CF$. Gọi $M,N,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $AEF, BDF$ và $CDE$. Phân giác trong góc $HCA$ và $HBA$ cắt nhau tại $P$.
a) Chứng minh rằng $BC= AH.tan\widehat{BAC}$
b) Chứng minh $P$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.
c) Chứng minh tam giác $MNK$ và tam giác $DEF$ bằng nhau.
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Kẻ các cát tuyến $SAB$ và $SCD$ đến $(O)$ ($A$ nằm giữa $S$ và $B$,$C$ nằm giữa $S$ và $D$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $OS$ tại $S$ và cắt các đường thẳng $BC$ và $AD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng $OE=OF$.
Câu 6 (1 điểm) Có $6$ đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận. Trong mỗi trận đấu, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm, Kết thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả lời.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 08-06-2018 - 12:28

[NguyenHoaiTrung]

Câu 3b) Với $x,y$ là các số thực lớn hơn $2$, ta có:

$\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y-4}$

Ta cần chứng minh $\frac{(x+y)^2}{x+y-4} \geq 16$

$<=>(x+y)^2 \geq 16(x+y)-64$

$<=>(x+y-8)^2 \geq 0$ luôn đúng

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 07-06-2018 - 17:02

[NguyenHoaiTrung]

Câu 2 b) 1) Vì $m,n \in S$,ta giả sử $m=a^2+3b^2$, $n=c^2+3d^2$ với $a,b,c,d$ là các số nguyên.

$=>m.n=(a^2+3b^2).(c^2+3d^2)=a^2c^2+3b^2c^2+3d^2a^2+9b^2d^2=(a^2c^2-6acbd+9b^2d^2)+3(b^2c^2+2abcd+d^2a^2)=(ac-3bd)^2+3(bc+ad)^2$

$=>m.n \in S$

2) Vì $n$ chia hết cho 2 $=>a,b$ có cùng tính chẵn lẻ

+) Nếu $a,b$ cùng chẵn $=>a^2,b^2$ chia hết cho $4$ nên $n$ chia hết cho $4$

+) Nếu $a,b$ cùng lẻ $=>a^2 \equiv b^2 \equiv 1 (mod4)$ nên $n \equiv 1+3 \equiv 0 (mod4)$ nên $n$ chia hết cho $4$

Vậy ở mọi trường hợp, ta luôn có nếu $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 07-06-2018 - 19:59

[Korkot]

Câu 6 (1 điểm) Có $6$ đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận. Trong mỗi trận đấu, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm, Kết thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả lời. 

Gọi số điểm của 6 đội là x,x+1,x+2,...,x+5 (kèm đk)

Mỗi trận thắng-thua thì tổng số điểm các đội tăng 3, trận hòa thì tổng số điểm các đội tăng 2.

Tổng số điểm tối đa các đội đạt được :$\frac{6.5}{2}.3$=45

Tổng số điểm tối thiểu các đội đạt được :$\frac{6.5}{2}.2$=30

Mặt khác, ta có tổng số điểm các đội là: 6a+15 nên tổng số điểm các đội chia 6 dư 3 

Vậy tổng số điểm các đội có thể là 33,39,45.

Nếu tổng số điểm các đội là 45 thì toàn bộ giải đấu ko có trận hòa, tức tổng số điểm mỗi đội có dạng 3x+0y nên số điểm mỗi đội chia hết cho 3 tức a,a+1 chia hết cho 3 (vô lý)

Nếu tổng số điểm mỗi đội là 33 thì toàn bộ giải đấu chỉ có 3 trận có kết quả thắng thua, còn lại là hòa.Ta xét 3 TH:

TH 1:  có 1 đội thua hết 3 trận. Lúc này hiển nhiên sẽ có 2 trận ko có trận thắng hoặc thua nào tức 2 đội này chỉ có trận hòa nên 2 đội có điểm bằng nhau (vô lí)

TH 2:  có ba đội, mỗi đội thua 1 trận. 3 đội này bằng điểm nhau (vô lí)

TH 3: có 1 đội thua 2 trận, 1 đội thua 1 trận. Ta xét các đội thắng 2 đội này. Nếu có 3 đội mỗi đội thắng 1 trận thì 3 đội này bằng điểm nhau (vô lí). Nếu có 1 đội thắng cả 3 trận thì trong giải đấu có 3 đội chỉ có trận hòa tức 3 đội bằng điểm nhau (vô lý). Nếu có 1 đội thắng 1 trận , 1 đội thắng 2 trận thì trong 6 đội có 4 đội ko có trận thắng và ko có trận hòa (vô lý). 

$\Rightarrow$ TH 33 điểm ko thể xảy ra.

Xét tổng số điểm các đội là 39. Kể bảng thống kê kết quả giải 

Suy ra a=4 tức đội cao điểm nhất là 9 điểm 

 

[duylax2412]

Gọi tổng số điểm từ đội điểm thấp nhất đến đội vô địch là $x,x+1,...,x+5$

Kết thúc giải ,tổng số trận đấu là $5+4+3+2+1=15$ trận

Tổng tất cả số điểm của $6$ đội là $6x+15$. Mỗi trận tổng điểm hai đội nhỏ nhất là $2$ (xảy ra khi hai đội hòa) và lớn nhất là $3$.Vậy ta lập được bất phương trình $2.15+3 \leq 6x+15 \leq 3.15$ 

Dấu bằng đầu tiên xảy ra khi tất cả đội bóng đều hòa nhau ở mọi trận và có một trận thua (Vô lý)

Dấu bằng thứ hai xảy ra khi mỗi đội bóng không có đội nào hòa. Tức là số điểm mỗi đội chia hết cho $3$.Trong khi trong $6$ số $x,x+1,...,x+5$ luôn có số không chia hết $3$

Vậy $2.15+3<6x+15<3.15$ từ đó $3<x<5$ suy ra $x=4$ nên đội vô địch $x+5=9$ điểm

 

Xin lỗi Korkot mình ko đọc kĩ lời giải bạn nên nó giống nhau.Coi như mình chưa giải bài này đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 08-06-2018 - 19:04

[burning123]

Ai giải giúp e 2 câu hình học với