Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

Nguồn: facebook Bùi Xuân Tiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 07-06-2018 - 17:31

[MoMo123]

 

Nguồn: facebook Bùi Xuân Tiên

Câu cuối:

Cách 1: 

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0$

Khai triển và đưa về 

$\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}+\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2abc}+\frac{b(c^2+a^2-b^2)}{2abc}> \frac{2abc}{2abc}$

hay $$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}>1$$

Cách 2:

Ta cần chứng minh

$$\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}+\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}+\frac{(c+a)^2-b^2}{2ca} >4$$

$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}+\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}+\frac{(c+a-b)(a+b+c)}{2ca} >4$$

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a+b-c=2m & & & \\ b+c-a=2n & & & \\ c+a-b=2p & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=m+p & & & \\ b=m+n & & & \\ c=n+p & & & \end{matrix}\right.$

và $a+b+c=2(m+n+p)$

Quy về chứng minh

$$\sum\frac{m(m+n+p)}{(m+n)(m+p)} >2$$

$$\Leftrightarrow (m+n+p)(mn+np+pm) > (m+n)(n+p)(p+m)$$

$$\Leftrightarrow (m+n)(n+p)(p+m)+mnp > (m+n)(n+p)(p+m)$$ (đúng)

P/s: Bài này còn chứng minh được $\leq \frac{3}{2}$ theo bất đẳng thức Schur nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-06-2018 - 08:15