Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

OI vuông góc EF


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định
  • Sở thích:Math

Đã gửi 10-06-2018 - 21:28

Cho tam giác ABC có góc A tù nội tiếp (O),ngoại tiếp (I). P,Q thuộc O sao cho BP vuông góc BI, CQ vuông góc CI. BP cắt AC tại E, CQ cắt AB tại F. Chứng minh OI vuông góc với EF

Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!


#2 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 06-08-2018 - 00:38

Bài toán khá hay  :icon6: Nó vẫn đúng mà không cần điều kiện A tù, và điểm P,Q cũng khá thừa thãi

Trước hết ta có 3 bổ đề sau: (Chú ý kí hiệu | là vuông góc)

 

Bổ đề 1: Tiếp điểm của (I) với AC, CB, BA là X, Y, Z, H là trực tâm XYZ. CMR: O, I, H thẳng hàng

CM: Gọi I1, I2, I3 là 3 tâm bàng tiếp góc A, B, C.

Ta thấy YZ//I2I3 (cùng vuông góc AI),  cmtt -> I1I2I3 và XYZ có các cạnh đôi một song song

=> Đường thẳng Euler của ABC và I1I2I3 song song

+ XYZ: I là tâm ngoại tiếp, H’ là trực tâm -> IH’ là đường thẳng Euler

+ I1I2I3: I là tâm đường tròn Euler, O là trực tâm -> IO là đường thẳng Euler

Vì 2 đgt Euler // mà có chung gốc I -> H’,I,O thẳng hàng

 

Bổ đề 2: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF. EF cắt BC tại X, tương tự với DE, DF là Y,Z. CMR: X,Y,Z thẳng hàng và vuông góc với OH

CM: Gọi N làm tâm đường tròn Euler của ABC
+ N là trung điểm OH (kết quả quen thuộc)
+ Đường tròn Euler đi qua 3 chân đường cao, 3 trung điểm
+ X,Y,Z thẳng hàng (Chứng minh dễ dàng bằng việc áp dụng định lí Menelaus 3 lần)
+ XF.XE=XB.XC=XD.XM (Maclaurin)
-> P(X/O)=P(X/N), cmtt thì P(Y/O)=P(Y/N), P(Z/O)=P(Z/N)
Vì vậy XY là trục đẳng phương của (O), (N) hay XY|ON=OH
 
Bổ đề 3: Gọi tiếp điểm của (I) với 3 cạnh là D,J,K. M,N,P là chân 3 đường cao từ J,D,K tương ứng. PN cắt DK tại V, MN cắt DJ tại U. Khi đó UV//EF
CM: 
+ AE/AF=AE/AB.AB/AC.AC/AF
             =AB/AC . cosB/2:cos(A+B/2) . cos(A+C/2):cosC/2
             =(sinC:cosC/2) / (sinB:cosB/2) . cos(A+C/2):cos(A+B/2)
             =sinC/2:sinB/2 . cos(A+C/2) : cos(A+B/2) (công thức sin nhân đôi)
+NU/NV=NU/NJ.NJ/NK.NK/NV=sinJ/sin(J-D).DJ/DK.cosJ/cosK.sin(K-D)/sinK
             =cosC/2:sin(C/2-A/2) . cosB/2:cosC/2 . sinC/2:sinB/2 . sin(B/2-A/2):cosB/2 
             =sinC/2:sinB/2 . cos(A+C/2):cos(A+B/2) (chuyển sin(90-x)=cos)
=> AE/AF=NU/NV.  Gọi S là tâm DJK thì NX//AB (cùng | JS), NY//AC (cùng | SK) => <EAF = <UNV
Từ đó ΔAEF ~ ΔNUV (c.g.c) -> <UVN = <EFA mà VN//AF nên UV//EF
 
Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề 1, ta có O,I,H thẳng hàng 
Áp dụng bổ đề 2, ta có IH|UV -> OI | UV
Áp dụng bổ đề 3, ta có UV // EF -> OI | EF (ĐPCM) 

Hình gửi kèm

  • helo1.png
  • helo 2.png
  • helo3.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-08-2018 - 00:43


#3 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 15-08-2018 - 02:56

Cách khác: Gọi $DE, DF$ cắt $AB, AC$ tại $H,G; M,L$ là trung điểm $EG, FH$
Dễ thấy $(GEAC)=(HFAB)=-1$ và theo hệ thức $Newton$ thì $P(M/I)=P(M/O)$ và $P(L/I)=P(L/O)$
Từ đó $ML$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$ nên $ML$ vuông góc $OI$
Mặt khác $AM.AC=AE.AG$ và $AF.AH=AL.AB$ theo  hệ thức Maclaurin
Vì vậy: $AM/AL=AE/AC.AG/AH.AB/AF=AH/AK.AG/AH.AJ/AG=AJ/AK$ hay $OI$ vuông góc $JK$

Hình gửi kèm

  • oops.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh