Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}\leq 2$

[Duy Thai2002]

Bài này có đăng trên diễn đàn rồi. Bạn chịu khó tìm.

[Khoa Linh]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}\leq 2$

Áp dụng $AM-GM$ ta có: 

$x^3+x^3+1\geq 3x^2$

$y^4+y^4+y^4+1\geq 4y^3$

Suy ra $2x^3+3y^4+2\geq y^3+3(x^2+y^3)\geq y^3+3(x^3+y^4)\Rightarrow x^3+y^3\leq 2$

[DOTOANNANG]

Từ $x^{2}+ y^{2}\geqq x^{3}+ y^{4}- y^{3}+ y^{2}\geqq x^{3}+ y^{3}$, ta đặt:

 

$x= k\,y\Rightarrow y\leqq \frac{k^{2}+ 1}{k^{3}+ 1}$, ta cần chứng minh: $k^{5}\left ( \frac{k^{2}+ 1}{k^{3}+ 1} \right )^{5}+ \left ( \frac{k^{2}+ 1}{k^{3}+ 1} \right )^{5}\leqq 2$

 

Dẫn tới $\left ( x^{5}+ y^{5} \right )\left ( x^{2}+ y^{2} \right )^{5}\leqq 2\left ( x^{3}+ y^{3} \right )^{5}$ hoặc ta dùng đạo hàm để giải trực tiếp bất đẳng thức vừa rồi!

 

Tiếp tục với bất đẳng thức này thì đặt:

 

$t= \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}\Rightarrow t^{5}\left ( t^{2}- t- 1 \right )\leqq 2\left ( t+ 2 \right )^{2}\left ( t- 1 \right )^{5}$

 

$\Leftrightarrow \left ( t- 2 \right )^{2}\underbrace{\left ( t^{5}+ 3\,t^{4}- 3\,t^{3}- 4\,t^{2}+ 6\,t- 2 \right )}_{\geqq 0}\geqq 0$

 

Đặt: 

 

$v+ 2= t\geqq 2\Rightarrow \left ( v+ 2 \right )^{5}+ 3\left ( v+ 2 \right )^{4}- 3\left ( v+ 2 \right )^{3}- 4\left ( v+ 2 \right )^{2}+ 6\left ( v+ 2 \right )- 2\geqq 0$

 

$\Rightarrow \underbrace{v^{5}+ 13\,v^{4}+ 61\,v^{3}+ 130\,v^{2}+ 130\,v+ 50> 0}_{v\geqq 0}$

 

Spoiler

$x^{3}+ y^{3}= 2- 3\left ( x^{2}+ y^{3}- x^{3}- y^{4} \right )- \left ( x- 1 \right )^{2}\left ( 2\,x+ 1 \right )- \left ( y- 1 \right )^{2}\left ( 3\,y^{2}+ 2\,y+ 1 \right )\leqq 2$