Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$

pth

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 471 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 11-06-2018 - 21:38

$Balkan-2000$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

  N.D.P 

#2 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 11-06-2018 - 23:05

VP là hàm bậc nhất theo biến y nên có tập giá trị là $\mathbb{R}$. Do đó, VT có tập giá trị là  $\mathbb{R}$.

Suy ra $f$ toàn ánh.

$\Rightarrow$$\exists a$ sao cho:$f(a)=0$

Thay $x=a$, ta được:

$f(f(y))=y$

$=> f(f(x))=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Thay $x$ bởi $f(x)$, ta được:

$f(xf(x)+f(y))=x^{2}+y$

Mà  $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$

Do đó:

$f^{2}(x)=x^{2}$

$<=> \begin{bmatrix} f(x)=x & \\f(x)=-x & \end{bmatrix}$

Ta sẽ chứng minh hai hàm thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$. Giả sử tồn tại $c$ và $d$ sao cho $f(c)=c,f(d)=-d$

Thay $x$ bởi c và $y$ bởi d, ta được:

$f(c^{2}-d)=c^{2}+d$ ( vô lý vì $\begin{bmatrix}f(c^{2}-d)=c^{2}-d & \\f(c^{2}-d)=d-c^{2} & \end{bmatrix}$)

Từ đó dẫn tới hai hàm trên thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$.

Vậy $f(x)=x,f(x)=-x$ $\forall x\in \mathbb{R}$


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh