Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{bc(b+c)}+\frac{1}{ac(c+a)}$

 

[thien huu]

Ta có:

$\sum \frac{1}{ab(a+b)}= \sum \frac{\frac{1}{(ab)^{2}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})^{2}}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$

$\geq \frac{\frac{3}{abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}= \frac{3}{2abc}$

Do đó $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sum \frac{1}{ab(a+b)}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{3}{2abc}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{3(a+b+c)}{2abc}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{3}{2}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{27}{2(ab+bc+ca)}$

=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4}{2(ab+bc+ca)}+\frac{23}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}+\frac{23}{\frac{2}{3}(a+b+c)^{^{2}}}= \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{\frac{69}{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq 9+\frac{69}{2}= \frac{87}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3

[lenguyenkhanh]

Từ giả thiết ban đầu có $1 \ge a^2 + b^2 + c^2 \ge 3(ab + ac + bc) \Rightarrow ab + ac + bc \le \frac{1}{3}$

Theo Cauchy: $\frac{1}{ab(a + b)} + \frac{1}{bc(b + c)} + \frac{1}{ac(a + c)} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2(a + b)(a + c)(b + c)}}$

Mà: $\sqrt[3]{(a + b)(b + c)(c + a)} \le \frac{2(a + b + c)}{3} \le \frac{2}{3}$

$\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \le \frac{ab + ac + bc}{3}$

Do đó: $\frac{1}{ab(a + b)} + \frac{1}{bc(b + c)} + \frac{1}{ac(a + c)} \ge \frac{27}{2(ab + ac + bc)}$

Vậy $A  = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{ab(a + b)} + \frac{1}{bc(b + c)} + \frac{1}{ac(a + c)} \ge \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{27}{2(ab + ac + bc)}$

$A \ge \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{ab + ac + bc}  + \frac{1}{ab + ac + bc} + \frac{23}{2(ab + ac + bc)}$

$A \ge \frac{9}{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} + \frac{23}{2(ab + ac + bc)} $(sử dụng BĐT $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{ a + b + c}$)

$A \ge \frac{9}{(a + b + c)^2} + \frac{23}{2(ab + ac + bc)}$

$A \ge 9 + 23\frac{3}{2}$

$A \ge \frac{87}{2}$

$minA = \frac{87}{2}$ khi $a = b = c = \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenguyenkhanh: 12-06-2018 - 00:09