Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 12-06-2018 - 17:18

Với $a,\,b,\,c$ thỏa $b+ c\geqq 0,\,c+ a\geqq 0,\,a+ b\geqq 0$ thì:

 

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

 

Spoiler

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#2 Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 13-06-2018 - 19:26

Biểu diễn cơ sở S.O.S hoặc áp dụng bđt hoán vị có ngay (Q.E.D)

#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 14-06-2018 - 08:15

 

 

Chào em, về việc biểu diễn cơ sở tổng các bình phương hoặc dùng BĐT hoán vị ở bài toán trên chỉ đúng với điều kiện $a,\,b,\,c$ không âm khác với giả thiết đã cho!

 

Cụ thể hơn với việc phân tích SOS, ta có $\sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}a^{2}b= \frac{1}{3}\left \{\left ( 2\,a+ b \right )\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( 2\,b+ c \right )\left ( b- c \right )^{2}+ \left ( 2\,c+ a \right )\left ( c- a \right )^{2}  \right \}\geqq 0$

 

Và nếu dùng bất đẳng thức hoán vị lại càng không đúng vì mặc dù bất đẳng thức này hoán vị nhưng lại không thể giả sử $a\geqq b\geqq c$ được!

 

Nếu em quan tâm đến bài này thì có thể thấy để có thể giả sử được $a= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}$ thì ngoài giả thiết $a+ c\geqq 0,\,b+ c\geqq 0$ có trong lời giải thì ta cũng phải có thêm nữa $a+ b\geqq 0$ để đảm bảo tính hoán vị của bài toán! 

 

Spoiler

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#4 Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 14-06-2018 - 11:13

Thật thế ! Bài này có vẻ đã được làm mạnh? Nhờ việc thay đổi giả thiết chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuanmysterious: 14-06-2018 - 11:14


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 14-06-2018 - 17:14

Thật thế ! Bài này có vẻ đã được làm mạnh? Nhờ việc thay đổi giả thiết chăng?

 

Thật ra là có lần anh giải bài bất đẳng thức gốc theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức Schur nên ra lời giải này! Việc còn lại như post anh đã nói ở trên! Vậy, từ đầu anh đã không có ý thay giả thiết!


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 03-05-2019 - 18:31

Với $a,\,b,\,c$ thỏa $b+ c\geqq 0,\,c+ a\geqq 0,\,a+ b\geqq 0$ thì:

 

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

 

Spoiler

T h a y  g i ả  t h i ế t  s a n g

$$\begin{equation}\begin{split} b> -\,a \\ c> -\,\frac{ab}{a+ b} \end{split}\end{equation}$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#7 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 14-11-2019 - 10:31

Em mới tìm ra một cách nè :D Gõ cái dấu "{" bằng Latex mãi không được nên em đăng ảnh nha :(

 

XaZGUse.png

Hơi cồng kềnh tí  :icon6:



#8 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 14-11-2019 - 16:03

Với $a,\,b,\,c$ thỏa $b+ c\geqq 0,\,c+ a\geqq 0,\,a+ b\geqq 0$ thì:

 

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

 

Spoiler

Hay một cách phân tích khác?

Giả sử $b= \min\left \{ a,\,b,\,c \right \}$. Ta có:

$VT-VP=\frac{(a+b)[(a+b-2c)^2+3(a-b)^2]+4(c-a)^2(c-b)}{4} \geqq 0$

Chúng ta có điều phải chứng minh?

Liệu nó có đúng không? :closedeyes:



#9 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 15-11-2019 - 10:34

Ngồi viết bài này dưới nhiều kiểu khác nhau và nó lại ra một kiểu khác cực ngắn :closedeyes:

Giả sử $c=\min\left\{a,\,b,\,c\right\}$

$VT-VP=\frac{(4a+3b-c)(a-b)^2 + (b+c)(a+b-2c)^2}{4} \geqq 0$

$\Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 15-11-2019 - 10:36


#10 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-11-2019 - 14:46

https://olm.vn/hoi-d...os=547395731645 phù, ra rồi, hết lộ liễu:)

P/s:Em lỡ đăng nhầm box rồi :( em đang tính nhắn tin với anh, ai ngờ lại bấm lộn vào cái này, không cố ý đâu...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-11-2019 - 14:48


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 24-11-2019 - 13:57

  1. tặng em @tth"noo"

13427874_1044258195666407_3525632711619929565_n.jpg

anh trích dẫn @Nguyenhuyen_AG  :D

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#12 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 15-01-2020 - 18:32

Đặt $a= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}$ thì:

$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- a^{2}b- b^{2}c- c^{2}a= \left ( a- b \right )\left ( a- c \right )\left ( a+ c \right )+ \left ( b+ c \right )\left ( b- c \right )^{2}\geqq 0$ 

 

Em vừa nhận ra: Nếu viết thêm $2$ đẳng thức tương tự rồi cộng lại chia 3 thì nó đúng theo BĐT Vornicu Schur.

Is that true?



#13 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 27-01-2020 - 14:48

Cho phép em quẩy tan nát mấy câu hỏi về SOS của anh nha  :D

Giả sử $b=\min\{a,b,c\}$. Khi đó:

$$a^3+b^3 +c^3 -a^2 b-b^2 c-c^2 a$$

$$ =(a+b)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(c-b)(a-c)^2\geq 0$$



#14 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 28-02-2020 - 13:10

@HaiDangel

$a:={\rm mid}(a, b, c)\rightarrow \sum a^{3}- \sum a^{2}b:=$

$:={\rm mid}\left \{ (a+ c)\left ( \sum a^{2}- \sum ab \right ), \sum a^{3}- \sum a^{2}b, (b+ c)\left ( \sum a^{2}- \sum ab \right ) \right \}\geqq 0$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#15 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 18-03-2020 - 13:38

Chào em, về việc biểu diễn cơ sở tổng các bình phương hoặc dùng BĐT hoán vị ở bài toán trên chỉ đúng với điều kiện $a,\,b,\,c$ không âm khác với giả thiết đã cho!

 

Cụ thể hơn với việc phân tích SOS, ta có $\sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}a^{2}b= \frac{1}{3}\left \{\left ( 2\,a+ b \right )\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( 2\,b+ c \right )\left ( b- c \right )^{2}+ \left ( 2\,c+ a \right )\left ( c- a \right )^{2}  \right \}\geqq 0$

 

Và nếu dùng bất đẳng thức hoán vị lại càng không đúng vì mặc dù bất đẳng thức này hoán vị nhưng lại không thể giả sử $a\geqq b\geqq c$ được!

 

Nếu em quan tâm đến bài này thì có thể thấy để có thể giả sử được $a= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}$ thì ngoài giả thiết $a+ c\geqq 0,\,b+ c\geqq 0$ có trong lời giải thì ta cũng phải có thêm nữa $a+ b\geqq 0$ để đảm bảo tính hoán vị của bài toán! 

 

Spoiler

Thực ra SOS vẫn hoạt động nếu ta khéo léo một chút!

$\left( -c/2+b/2+a \right) \left( a-b \right) ^{2}+ \left( c/2+b/2 \right) \left( -c+b \right) ^{2}+ \left( c/2+b/2 \right) \left( c-a \right) ^{2} \geq 0$

Giả sử $\it{c}=\it{mid\{a,b,c\}}$ ta có đpcm.

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 18-03-2020 - 13:41






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh