Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 459 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 13-06-2018 - 21:32

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 13-06-2018 - 21:32

 

 

 ︵™Λ࿆๖ۣۜL࿇Ⓐ༫࿆Ɲ➻ 

     

      ⎝╰‿╯⎠

      ꧁༺༒༻꧂


#2 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 517 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 13-06-2018 - 21:49

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

Áp dụng $AM-GM$ ta có:

$\frac{1}{a(a+bc)}+\frac{bc+a}{4}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}$

Suy ra: 

$\sum \frac{1}{a^2+abc}\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}$

Ta lại có: 

$\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Vì $a+b+c=3$ nên $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3;ab+bc+ca\leq 3$

Suy ra: $\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\geq \frac{3}{2}$

p/s: Em dùng lắm BĐT như này mà không bị ngược dấu nhỉ ??. Thấy sai sai, anh kiểm tra lại nhé 


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#3 Kim Vu

Kim Vu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K58 LVT-Ninh Bình
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 13-06-2018 - 22:00

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

$A=\sum \frac{1}{a^{2}+abc}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$abc(a+bc)(b+ca)(c+ab)=\frac{1}{8}8abc(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq \frac{1}{512}\prod (2a+a+bc)\leq \frac{1}{512}\prod(a(a+b+c)+bc)= \frac{1}{512}[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\leq \frac{1}{512}[\frac{8(a+b+c)^3}{27}]^2=\frac{1}{8}$

Do đó $A \geq \frac{3}{2}$



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 686 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên
  • Sở thích:collect inequalities

Đã gửi 18-06-2018 - 10:16

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ abc} \right )\geqq  \sum\limits_{cyc} \left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{b+ c}{2} \right )^{2}} \right )= \sum\limits_{cyc}\frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}\geqq \frac{3}{2}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}- \frac{1}{2} \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\left ( a- 1 \right ) \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- 1 \right )^{2}\left ( a^{2}- 2\,a+ 8 \right )}{2\,a\left ( a^{2}- 2\,a+ 9 \right )}\geqq 0 $$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh