Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 13-06-2018 - 21:32

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

Áp dụng $AM-GM$ ta có:

$\frac{1}{a(a+bc)}+\frac{bc+a}{4}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}$

Suy ra: 

$\sum \frac{1}{a^2+abc}\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}$

Ta lại có: 

$\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Vì $a+b+c=3$ nên $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3;ab+bc+ca\leq 3$

Suy ra: $\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{4}\geq \frac{3}{2}$

p/s: Em dùng lắm BĐT như này mà không bị ngược dấu nhỉ ??. Thấy sai sai, anh kiểm tra lại nhé 

[Kim Vu]

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$. Tìm $Min$ của $\sum \frac{1}{a^{2}+abc}$

$A=\sum \frac{1}{a^{2}+abc}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$
$abc(a+bc)(b+ca)(c+ab)=\frac{1}{8}8abc(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leq \frac{1}{512}\prod (2a+a+bc)\leq \frac{1}{512}\prod(a(a+b+c)+bc)= \frac{1}{512}[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\leq \frac{1}{512}[\frac{8(a+b+c)^3}{27}]^2=\frac{1}{8}$

Do đó $A \geq \frac{3}{2}$

[DOTOANNANG]

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ abc} \right )\geqq  \sum\limits_{cyc} \left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{b+ c}{2} \right )^{2}} \right )= \sum\limits_{cyc}\frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}\geqq \frac{3}{2}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}- \frac{1}{2} \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left ( \frac{1}{a^{2}+ a\left ( \frac{3- a}{2} \right )^{2}}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\left ( a- 1 \right ) \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- 1 \right )^{2}\left ( a^{2}- 2\,a+ 8 \right )}{2\,a\left ( a^{2}- 2\,a+ 9 \right )}\geqq 0 $$