Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 14-06-2018 - 10:58

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-06-2018 - 10:59

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#2 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 14-06-2018 - 11:26

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler
Nếu $a+b+c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu $a+b+c \ne 0$, ta chuẩn hóa cho $a+b+c=3$.
Đặt $ab+bc+ca=q, abc=r$.
Ta có:
$$2(a^3b+b^3c+c^3a)=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(a^2+c^2)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$$
$$\leqslant 9q-2q^2-3r+3\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2}$$
Như vậy ta cần chứng minh:
$$2(9-2q)^2 \geqslant 3(9q-2q^2-3r+3\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2})$$
$$\Leftrightarrow 9r+(7q-18)(2q-9) \geqslant 9\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2}$$
Dễ thấy vế trái là không âm. Bình phương 2 vế rồi biến đổi:
$$81r^2+(7q-18)^(2q-9)^2+18r(7q-18)(2q-9) \geqslant 81(9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2)$$
$$\Leftrightarrow 2268r^2-36r(-7q^2+171q-324)+(7q-18)^2(2q-9)^2+81q^2(4q-9) \geqslant 0$$
Ta có:
$$\Delta'=18^2(-7q^2+171q-324)^2-2268[(7q-18)^2(2q-9)^2+81q^2(4q-9)]$$
$$=-8748(q-3)^2(7q-18)^2 \leqslant 0$$
Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-06-2018 - 13:19


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 21-06-2018 - 10:26

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{\sum\limits_{cyc}\left ( -5\,ab-2\,bc+7\,ca+ a^{2}+ 3\,b^{2}- 4\,c^{2} \right )^{2}}{26}$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 09-07-2018 - 17:36

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler

 

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 10-07-2018 - 11:33

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

Mình nghĩ cách tiếp cận tốt nhất với học sinh phổ thông cho bài toán như này là giả sử c = min {a; b; c} , đặt a=c+x ,b=c+y rồi khai triển dùng tam thức bậc 2 ...


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#6 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 10-07-2018 - 15:57

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

Lời giải cụ thể :

Không mất tính tổng quát giả sử a=min{a;b;c}. Đặt b=a+x , c=a+y ($x,y\geq 0$) , bất đẳng thức đã cho tương đương : 

$a^4+(a+x)^4+(a+y)^4+17.[a^2(a+x)^2+a^2(a+y)^2+(a+x)^2(a+y)^2)]\geq 6(3a+x+y)[a^2(a+x)+(a+x)^2(a+y)+(a+y)^2)a)]$

$$\Leftrightarrow 4(x^2-xy+y^2)a^2-2(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)a+x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4 \geq 0$$

Xét biệt thức delta : 

$$\Delta =4(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)^2-16(x^2-xy+y^2)(x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4)$$

$$=-12(x^3-5x^2y+2xy^2+y^3)^2\leq 0$$

Do đó theo định lí về dấu của tam thức bậc 2 ta có điều phải chứng minh .

 

 

P/S: Có nhầm chỗ nào không nhỉ, anh em xem giùm  :rolleyes: :huh: :huh: ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 10-07-2018 - 20:47

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 11-07-2018 - 11:34

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

 

$$\Leftrightarrow f\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{3}{4}\left ( - c^{2}+ 2\,ca+ a^{2}- 4\,ab+ 2\,bc \right )^{2}+ \frac{1}{4}\left ( a^{2}- 6\,ac+ c^{2}+ 6\,cb- 2\,b^{2} \right )^{2}\geqq 0$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#8 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 16-04-2020 - 09:28

$$\Leftrightarrow f\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{3}{4}\left ( - c^{2}+ 2\,ca+ a^{2}- 4\,ab+ 2\,bc \right )^{2}+ \frac{1}{4}\left ( a^{2}- 6\,ac+ c^{2}+ 6\,cb- 2\,b^{2} \right )^{2}\geqq 0$$

$$\text{LHS-RHS}=1/2\, \left( 2\,ab-4\,ac-{b}^{2}+2\,bc+{c}^{2} \right) ^{2}+1/2\, \left( {a}^{2}-4\,ab+2\,ac+2\,bc-{c}^{2} \right) ^{2}+\\1/2\,\left( -{ a}^{2}+2\,ab+2\,ac+{b}^{2}-4\,bc \right) ^{2} \geqq 0$$

:luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 16-04-2020 - 09:29


#9 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 16-04-2020 - 09:38

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

Nhân $3$ vào $2$ vế, ta viết bất đẳng thức thành:

$$[\sum (-{a}^{2}+4\,ab-2\,ac-2\,bc+{c}^{2})]^2 \geqq 3\, \sum \left( -{a}^{2}+4\,ab-2\,ac-2\,bc+{c}^{2} \right)  \left( {a}^{2}- 2\,ab-2\,ac-{b}^{2}+4\,bc \right)$$

Done  :D  :like







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh