Chủ đề này có 6 trả lời

[DOTOANNANG]

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler

$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{1}{4}\left ( 2\,a^{2}- b^{2}- c^{2}- 3\,ab+ 3\,bc \right )^{2}+ \frac{3}{4}\left ( b^{2}- c^{2}- ab+ 2\,ca- bc \right )^{2}\geqq 0$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{\sin^{2}\frac{4\,\pi }{7}}= \frac{b}{\sin^{2}\frac{2\,\pi}{7}}= \frac{c}{\sin^{2}\frac{\pi}{7}}$ cùng các hoán vị của nó hoặc $a= b= c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-06-2018 - 10:59

[tr2512]

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler

$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{1}{4}\left ( 2\,a^{2}- b^{2}- c^{2}- 3\,ab+ 3\,bc \right )^{2}+ \frac{3}{4}\left ( b^{2}- c^{2}- ab+ 2\,ca- bc \right )^{2}\geqq 0$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{\sin^{2}\frac{4\,\pi }{7}}= \frac{b}{\sin^{2}\frac{2\,\pi}{7}}= \frac{c}{\sin^{2}\frac{\pi}{7}}$ cùng các hoán vị của nó hoặc $a= b= c$.

Nếu $a+b+c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $a+b+c \ne 0$, ta chuẩn hóa cho $a+b+c=3$.

Đặt $ab+bc+ca=q, abc=r$.

Ta có:

$$2(a^3b+b^3c+c^3a)=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(a^2+c^2)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$$

$$\leqslant 9q-2q^2-3r+3\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2}$$

Như vậy ta cần chứng minh:

$$2(9-2q)^2 \geqslant 3(9q-2q^2-3r+3\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2})$$

$$\Leftrightarrow 9r+(7q-18)(2q-9) \geqslant 9\sqrt{9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2}$$

Dễ thấy vế trái là không âm. Bình phương 2 vế rồi biến đổi:

$$81r^2+(7q-18)^(2q-9)^2+18r(7q-18)(2q-9) \geqslant 81(9q^2-4q^3+54qr-108r-27r^2)$$

$$\Leftrightarrow 2268r^2-36r(-7q^2+171q-324)+(7q-18)^2(2q-9)^2+81q^2(4q-9) \geqslant 0$$

Ta có:

$$\Delta'=18^2(-7q^2+171q-324)^2-2268[(7q-18)^2(2q-9)^2+81q^2(4q-9)]$$

$$=-8748(q-3)^2(7q-18)^2 \leqslant 0$$

Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-06-2018 - 13:19

[DOTOANNANG]

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{\sum\limits_{cyc}\left ( -5\,ab-2\,bc+7\,ca+ a^{2}+ 3\,b^{2}- 4\,c^{2} \right )^{2}}{26}$$

[DOTOANNANG]

Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$

 

Spoiler

$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{1}{4}\left ( 2\,a^{2}- b^{2}- c^{2}- 3\,ab+ 3\,bc \right )^{2}+ \frac{3}{4}\left ( b^{2}- c^{2}- ab+ 2\,ca- bc \right )^{2}\geqq 0$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{\sin^{2}\frac{4\,\pi }{7}}= \frac{b}{\sin^{2}\frac{2\,\pi}{7}}= \frac{c}{\sin^{2}\frac{\pi}{7}}$ cùng các hoán vị của nó hoặc $a= b= c$.

 

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

[viet9a14124869]

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

Mình nghĩ cách tiếp cận tốt nhất với học sinh phổ thông cho bài toán như này là giả sử c = min {a; b; c} , đặt a=c+x ,b=c+y rồi khai triển dùng tam thức bậc 2 ...

[viet9a14124869]

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

Lời giải cụ thể :

Không mất tính tổng quát giả sử a=min{a;b;c}. Đặt b=a+x , c=a+y ($x,y\geq 0$) , bất đẳng thức đã cho tương đương : 

$a^4+(a+x)^4+(a+y)^4+17.[a^2(a+x)^2+a^2(a+y)^2+(a+x)^2(a+y)^2)]\geq 6(3a+x+y)[a^2(a+x)+(a+x)^2(a+y)+(a+y)^2)a)]$

$$\Leftrightarrow 4(x^2-xy+y^2)a^2-2(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)a+x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4 \geq 0$$

Xét biệt thức delta : 

$$\Delta =4(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)^2-16(x^2-xy+y^2)(x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4)$$

$$=-12(x^3-5x^2y+2xy^2+y^3)^2\leq 0$$

Do đó theo định lí về dấu của tam thức bậc 2 ta có điều phải chứng minh .

 

 

P/S: Có nhầm chỗ nào không nhỉ, anh em xem giùm   ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 10-07-2018 - 20:47

[DOTOANNANG]

$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$

 

$$\Leftrightarrow f\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{3}{4}\left ( - c^{2}+ 2\,ca+ a^{2}- 4\,ab+ 2\,bc \right )^{2}+ \frac{1}{4}\left ( a^{2}- 6\,ac+ c^{2}+ 6\,cb- 2\,b^{2} \right )^{2}\geqq 0$$