Chủ đề này có 2 trả lời

[01634908884]

Tìm hàm số f thỏa mãn $f: R^+ \to R^+; f(f(x)+x^2+2y)=f(x)+x^2+2f(y) $. với x, y>0, x, y là số thực

[VricRaet]

Tìm hàm số f thỏa mãn $f: R^+ \to R^+; f(f(x)+x^2+2y)=f(x)+x^2+2f(y) $. với x, y>0, x, y là số thực

Thay $f(x)$ bởi $y^{2}$ và y bởi xy ta có:
$f((x+y)^{2})=(x+y)^{2}+2f(xy)-2xy$ (1)
Thay y=1 vào (1):
$f((x+1)^{2})=(x+1)^{2}-2x+2f(x)$ (2)

Hay: $4(f(x)-x)=2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]$

Thay $(x+1)^{2}$ bởi x vào (2) có:
$2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]=f(x)-x$
Dẫn đến: $4(f(x)-x)=f(x)-x$
Suy ra $f(x)=x$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VricRaet: 05-07-2018 - 16:36

[01634908884]

Thay $f(x)$ bởi $y^{2}$ và y bởi xy ta có:
$f((x+y)^{2})=(x+y)^{2}+2f(xy)-2xy$ (1)
Thay y=1 vào (1):
$f((x+1)^{2})=(x+1)^{2}-2x+2f(x)$ (2)
Hay: $4(f(x)-x)=2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]$
Thay $(x+1)^{2}$ bởi x vào (2) có:
$2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]=f(x)-x$
Dẫn đến: $4(f(x)-x)=f(x)-x$
Suy ra $f(x)=x$

Để được
Thay $(x+1)^{2}$ bởi x vào (2) có:
$2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]=f(x)-x$ hóa ra (x+1) ^2=x à