Chủ đề này có 2 trả lời

[haxuannhan]

Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn  sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là

[tritanngo99]

Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn  sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là

Câu 1:

Gọi $O$ là tâm của đường tròn $(C)$. Khi đó: $O$ có tọa độ là: $(1;0)$

Gọi $M$ là giao điểm của $OA$ và $(C)$ và $M$ nằm giữa $O;A$ khi đó $MA$ có độ dài nhỏ nhất.

Thật vậy: Giả sử gọi $M'$ là điểm bất kì thuộc đường tròn $(C);M'\ne M$. Ta sẽ chứng minh: $M'A\ge MA$.

Trường hợp 1: $M'\in OA$ nhưng $M'$ không nằm giữa $O;A$.

Khi đó rõ ràng: $M'A>MA(*)$.

Trường hợp 2: $M'$ không thuộc $OA$. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: $OM'+M'A\ge OA$.

Hay $OM'+M'A\ge OM+MA(1)$.

Mà $OM'=OM=$ bán kính.

Nên từ $(1)$ suy ra: $M'A\ge MA(**)$.

Từ $(*)(**)$ ta có được điều phải chứng minh.

Đến đây việc còn lại chỉ là xác định tọa độ của điểm $M$.

Ta có: $\vec{n}_{OA}=(-2;3)\implies $ phương trình đường thằng $OA$ là: $-2x+3y+c=0$.

Mặt khác $OA$ đi qua $O(1;0)\implies c=2$.

$\implies OA:-2x+3y+2=0$.

Phương trình tọa độ giao điểm của $OA$ với $(C)$ là:

$\left\{\begin{array}{I} -2x+3y+2=0\\ (x-1)^2+y^2=4 \end{array}\right.$.

Giải hệ trên ta được: $M_1=(1-\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{-4}{\sqrt{13}}); M_2(1+\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{4}{\sqrt{13}})$.

Loại giá trị đầu tiên do $M$ nằm giữa $O;A$. Nên ta chọn $M_2$.

Vậy giá trị $M$ cần tìm là: $M_2(1+\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{4}{\sqrt{13}})$.

[tritanngo99]

Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn  sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là

Câu 2:

Gọi $O$ là tâm đường tròn $(C)$, khi đó: $O$ có tọa độ là: $(1;-2)$

Gọi $A;B$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $(C)$.

Từ $O$ kẻ $OI\bot AB(I\in AB)$.

Do $\triangle{OAB}$ cân tại $O$ nên $AB=2IA=2IB=2.\sqrt{OA^2-IO^2}$.

Lại có: $IO=d(O;d)=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Do đó: $AB=2.\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$.