Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là
Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn sao cho độ dài MA nhỏ nhất
#1
Đã gửi 14-06-2018 - 16:46
#2
Đã gửi 14-06-2018 - 18:00
Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là
Gọi $O$ là tâm của đường tròn $(C)$. Khi đó: $O$ có tọa độ là: $(1;0)$
Gọi $M$ là giao điểm của $OA$ và $(C)$ và $M$ nằm giữa $O;A$ khi đó $MA$ có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Giả sử gọi $M'$ là điểm bất kì thuộc đường tròn $(C);M'\ne M$. Ta sẽ chứng minh: $M'A\ge MA$.
Trường hợp 1: $M'\in OA$ nhưng $M'$ không nằm giữa $O;A$.
Khi đó rõ ràng: $M'A>MA(*)$.
Trường hợp 2: $M'$ không thuộc $OA$. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: $OM'+M'A\ge OA$.
Hay $OM'+M'A\ge OM+MA(1)$.
Mà $OM'=OM=$ bán kính.
Nên từ $(1)$ suy ra: $M'A\ge MA(**)$.
Từ $(*)(**)$ ta có được điều phải chứng minh.
Đến đây việc còn lại chỉ là xác định tọa độ của điểm $M$.
Ta có: $\vec{n}_{OA}=(-2;3)\implies $ phương trình đường thằng $OA$ là: $-2x+3y+c=0$.
Mặt khác $OA$ đi qua $O(1;0)\implies c=2$.
$\implies OA:-2x+3y+2=0$.
Phương trình tọa độ giao điểm của $OA$ với $(C)$ là:
$\left\{\begin{array}{I} -2x+3y+2=0\\ (x-1)^2+y^2=4 \end{array}\right.$.
Giải hệ trên ta được: $M_1=(1-\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{-4}{\sqrt{13}}); M_2(1+\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{4}{\sqrt{13}})$.
Loại giá trị đầu tiên do $M$ nằm giữa $O;A$. Nên ta chọn $M_2$.
Vậy giá trị $M$ cần tìm là: $M_2(1+\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{4}{\sqrt{13}})$.
- haxuannhan và conankun thích
#3
Đã gửi 14-06-2018 - 18:12
Câu 1: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+y^2=4$ và điểm $A(4;2)$. Gọi M là điểm thuộc đường tròn sao cho độ dài MA nhỏ nhất
Câu 2: Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$, đường thẳng $d$ cắt đường tròn $(C)$ tại 2 điểm $A$, $B$ phân biệt. Khi đó độ dài AB là
Gọi $O$ là tâm đường tròn $(C)$, khi đó: $O$ có tọa độ là: $(1;-2)$
Gọi $A;B$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $(C)$.
Từ $O$ kẻ $OI\bot AB(I\in AB)$.
Do $\triangle{OAB}$ cân tại $O$ nên $AB=2IA=2IB=2.\sqrt{OA^2-IO^2}$.
Lại có: $IO=d(O;d)=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Do đó: $AB=2.\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$.
- haxuannhan và conankun thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh