Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm số nghiệm của phương trình

toán 12

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 14-06-2018 - 22:54

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1649 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 15-06-2018 - 09:35

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

Xét $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có: $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.

Ta có: $f'(x)=0\iff x=1\text{ hoặc }x=3$.

Lập bảng biến thiên, từ đó ta có nhận xét rằng:

Phương trình: $f(x)=c$ với $c\in (0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt.

Không mất tính tổng quát giả sử ba nghiệm đó là: $u,v,w$.

Và ta chứng minh được rằng: $u,v,w$ cũng thuộc khoảng $(0;4)$.

Thật vậy ta chứng minh bằng phản chứng:

Giả sử: $u$ không thuộc khoảng $(0;4)$. Khi đó $u\le 0\text{ hoặc }u\ge 4$.

Ta có: $u^3-6u^2+9=c$.

Từ bảng biến thiên của hàm số: $f(x)=x^3-6x^2+9x$, ta thấy rằng:

Hàm số: $f(x)$ đồng biến trên $[-\infty;1)$ nên với mọi $u\le 0\implies f(u)=u^3-6u^2+9\le f(0)=0\iff c\le 0\text{ mâu thuẩn }(1)$.

Và $f(x)$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên với mọi $u\ge 4\implies f(u)\ge f(4)=4\iff c>4\text{ mâu thuẩn}(2)$.

Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự cho $v,w$.

Vậy tóm lại: Phương trình $f(x)=c;c\in(0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt $u,v,w\in(0;4)$.

Từ đó dùng quy nạp ta chứng minh được: Phương trình: $f^{n}(x)=c;c\in(0;4)$ có: $3^n$ nghiệm.

Chứng minh: Với $n=1\implies f(x)=c$. Rõ ràng phương trình này có $3^1=3$ nghiệm. Nên $n=1$ đúng.

Giả sử đúng với $n=k;k \in \mathbb{N^*};k\ge 2$. Tức là phương trình: $f^{k}(x)=c$ có $3^k$ nghiệm.

Ta đi chứng minh: Với $n=k+1$. Phương trình: $f^{k+1}(x)=c$ có $3^{k+1}$ nghiệm.

Thật vậy: Theo đề ta có: $f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))$. Nên $f^{k+1}(x)=c\iff [f^{k}(x)]^3-6[f^{k}(x)]^2+9[f^{k}(x)]=c$.

Rõ ràng phương trình này có $3$ nghiệm:

$\left\{\begin{array}{I} f^{k}(x)=u\\f^{k}(x)=v\\f^{k}(x)=w \end{array}\right.$

Rõ ràng mỗi phương trình: $f^{k}(x)=u;f^{k}(x)=v;f^{k}(x)=w$ có $3^{k}$ nghiệm. Nên suy ra số nghiệm của pương trình:

$f^{k+1}(x)=c$ là: $3.3^{k}=3^{k+1}$ nghiệm.

Vậy theo giả thiết quy nạp: Ta có: phương trình: $f^{k}(x)=c;c\in (0;4)$ có: $3^{k}$ nghiệm.

Bây giờ ta đi tìm số nghiệm của phương trình: $f^{n+1}(x)=0$.

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.

Gọi $b_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=3$. Rõ ràng $3\in (0;4)$. Nên ta suy ra được: $b_n=3^{n}$.

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.

$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$

Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.

Tương tự ta có: $a_{n}-a_{n-1}=3^{n-1}...$.

Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.

Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=2$.

Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$.

Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=365$.

Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-06-2018 - 15:43

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#3 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 15-06-2018 - 14:37

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.
$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$
Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.


Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm :p Tại sao suy ra thế được ạ?

#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1649 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 15-06-2018 - 14:52

Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm :P Tại sao suy ra thế được ạ?

Do $a_{n+1}$ là số nghiệm của phương trình của phương trình $f^{n+1}(x)=0$ bằng tổng số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ và $f^{n}(x)=3$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#5 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 16-06-2018 - 13:37

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.


Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.
Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=3$.
Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+2$.
Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=366$.
Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $366$ nghiệm.



Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng :P lệch mất 1 số.

#6 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1649 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-06-2018 - 15:42

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:


Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng :P lệch mất 1 số.

Uhm bạn. Mình nhầm!!!


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh