Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm số nghiệm của phương trình

toán 12

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 14-06-2018 - 22:54

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 15-06-2018 - 09:35

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

Xét $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có: $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.

Ta có: $f'(x)=0\iff x=1\text{ hoặc }x=3$.

Lập bảng biến thiên, từ đó ta có nhận xét rằng:

Phương trình: $f(x)=c$ với $c\in (0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt.

Không mất tính tổng quát giả sử ba nghiệm đó là: $u,v,w$.

Và ta chứng minh được rằng: $u,v,w$ cũng thuộc khoảng $(0;4)$.

Thật vậy ta chứng minh bằng phản chứng:

Giả sử: $u$ không thuộc khoảng $(0;4)$. Khi đó $u\le 0\text{ hoặc }u\ge 4$.

Ta có: $u^3-6u^2+9=c$.

Từ bảng biến thiên của hàm số: $f(x)=x^3-6x^2+9x$, ta thấy rằng:

Hàm số: $f(x)$ đồng biến trên $[-\infty;1)$ nên với mọi $u\le 0\implies f(u)=u^3-6u^2+9\le f(0)=0\iff c\le 0\text{ mâu thuẩn }(1)$.

Và $f(x)$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên với mọi $u\ge 4\implies f(u)\ge f(4)=4\iff c>4\text{ mâu thuẩn}(2)$.

Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự cho $v,w$.

Vậy tóm lại: Phương trình $f(x)=c;c\in(0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt $u,v,w\in(0;4)$.

Từ đó dùng quy nạp ta chứng minh được: Phương trình: $f^{n}(x)=c;c\in(0;4)$ có: $3^n$ nghiệm.

Chứng minh: Với $n=1\implies f(x)=c$. Rõ ràng phương trình này có $3^1=3$ nghiệm. Nên $n=1$ đúng.

Giả sử đúng với $n=k;k \in \mathbb{N^*};k\ge 2$. Tức là phương trình: $f^{k}(x)=c$ có $3^k$ nghiệm.

Ta đi chứng minh: Với $n=k+1$. Phương trình: $f^{k+1}(x)=c$ có $3^{k+1}$ nghiệm.

Thật vậy: Theo đề ta có: $f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))$. Nên $f^{k+1}(x)=c\iff [f^{k}(x)]^3-6[f^{k}(x)]^2+9[f^{k}(x)]=c$.

Rõ ràng phương trình này có $3$ nghiệm:

$\left\{\begin{array}{I} f^{k}(x)=u\\f^{k}(x)=v\\f^{k}(x)=w \end{array}\right.$

Rõ ràng mỗi phương trình: $f^{k}(x)=u;f^{k}(x)=v;f^{k}(x)=w$ có $3^{k}$ nghiệm. Nên suy ra số nghiệm của pương trình:

$f^{k+1}(x)=c$ là: $3.3^{k}=3^{k+1}$ nghiệm.

Vậy theo giả thiết quy nạp: Ta có: phương trình: $f^{k}(x)=c;c\in (0;4)$ có: $3^{k}$ nghiệm.

Bây giờ ta đi tìm số nghiệm của phương trình: $f^{n+1}(x)=0$.

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.

Gọi $b_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=3$. Rõ ràng $3\in (0;4)$. Nên ta suy ra được: $b_n=3^{n}$.

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.

$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$

Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.

Tương tự ta có: $a_{n}-a_{n-1}=3^{n-1}...$.

Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.

Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=2$.

Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$.

Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=365$.

Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-06-2018 - 15:43

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#3 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 15-06-2018 - 14:37

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.
$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$
Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.


Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm :p Tại sao suy ra thế được ạ?

#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 15-06-2018 - 14:52

Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm :P Tại sao suy ra thế được ạ?

Do $a_{n+1}$ là số nghiệm của phương trình của phương trình $f^{n+1}(x)=0$ bằng tổng số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ và $f^{n}(x)=3$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#5 rosetta

rosetta

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 16-06-2018 - 13:37

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.


Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.
Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=3$.
Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+2$.
Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=366$.
Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $366$ nghiệm.



Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng :P lệch mất 1 số.

#6 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 19-06-2018 - 15:42

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:


Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng :P lệch mất 1 số.

Uhm bạn. Mình nhầm!!!


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 12

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh