Chủ đề này có 1 trả lời

[99 my number]

Giả sử $n$ là số nguyên lớn hơn 6 và $a_1,a_2,..,a_k$ là các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$

Chứng minh rằng nếu $a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_k-a_{k-1}>0$ thì $n$ số nguyên tố hoặc là lũy thừa của 2

[duylax2412]

Gọi $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước $n$ . Dễ thấy $a_1=1$ ;$a_2=p$ và $a_{k}=n-1$

Từ đó suy ra $a_2-a_1=...=a_k-a_{k-1}=p-1$. Tính được $a_{k}=(k-1)(p-1)+a_1$ hay $n-2=(k-1)(p-1)$

Nếu $p=2$ thì suy ra $a_1;a_2;...;a_k$ là các số $1,2,...,n-1$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Vậy $n$ là số nguyên tố

Nếu $p \geq 3$. Gọi $q$ là một ước nguyên tố bất kì của $p-1$ . Do $q<p$ nên theo cách chọn $p$ , ta có $q|n$. Mà $q|p-1|n-2$ nên $q=2$

Nghĩa là $p-1$ chỉ có ước nguyên tố là 2 nên là lũy thừa của $2$ . Đặt $p=2^{m}+1$. Để $p$ nguyên tố thì $m$ phải là lũy thừa của $2$ nên $p$ phải có dạng $p=2^{2^t} +1$

Xét $p>3$ thì $a_3=p-1+a_2=2p-1=2^{2^{t}+1}+1$ chia hết $3$. Mà $n$ cũng chia hết $3$ (do $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước $n$)

Vô lý bởi $(a_3,n)=1$

Vậy $p=3$ từ đó $n$ nguyên tố cùng nhau với $1,3,5,..,n-1$ nên $n$ là lũy thừa $2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 20-06-2018 - 21:35