Giả sử $n$ là số nguyên lớn hơn 6 và $a_1,a_2,..,a_k$ là các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$
Chứng minh rằng nếu $a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_k-a_{k-1}>0$ thì $n$ số nguyên tố hoặc là lũy thừa của 2
Giả sử $n$ là số nguyên lớn hơn 6 và $a_1,a_2,..,a_k$ là các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$
Chứng minh rằng nếu $a_2-a_1=a_3-a_2=...=a_k-a_{k-1}>0$ thì $n$ số nguyên tố hoặc là lũy thừa của 2
Gọi $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước $n$ . Dễ thấy $a_1=1$ ;$a_2=p$ và $a_{k}=n-1$
Từ đó suy ra $a_2-a_1=...=a_k-a_{k-1}=p-1$. Tính được $a_{k}=(k-1)(p-1)+a_1$ hay $n-2=(k-1)(p-1)$
Nếu $p=2$ thì suy ra $a_1;a_2;...;a_k$ là các số $1,2,...,n-1$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Vậy $n$ là số nguyên tố
Nếu $p \geq 3$. Gọi $q$ là một ước nguyên tố bất kì của $p-1$ . Do $q<p$ nên theo cách chọn $p$ , ta có $q|n$. Mà $q|p-1|n-2$ nên $q=2$
Nghĩa là $p-1$ chỉ có ước nguyên tố là 2 nên là lũy thừa của $2$ . Đặt $p=2^{m}+1$. Để $p$ nguyên tố thì $m$ phải là lũy thừa của $2$ nên $p$ phải có dạng $p=2^{2^t} +1$
Xét $p>3$ thì $a_3=p-1+a_2=2p-1=2^{2^{t}+1}+1$ chia hết $3$. Mà $n$ cũng chia hết $3$ (do $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước $n$)
Vô lý bởi $(a_3,n)=1$
Vậy $p=3$ từ đó $n$ nguyên tố cùng nhau với $1,3,5,..,n-1$ nên $n$ là lũy thừa $2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 20-06-2018 - 21:35
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh