Chủ đề này có 2 trả lời

[mrdoctorlee]

cho x,y,z >1 tm x+y+z=xyz

tìm min T= $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

[VuQuyDat]

cho x,y,z >1 tm x+y+z=xyz

tìm min T= $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

Ta có

$T\doteq\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-\sum \frac{1}{x}$

$=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-\sum \frac{1}{x}$

$\geq \sum (x-1).\frac{2}{xz}-\sum \frac{1}{x}$

$=\sum \frac{1}{x}-2\sum \frac{1}{xz}\geq \sqrt[]{3\sum \frac{1}{xz}}-2\sum \frac{1}{xz}=\sqrt{3}-2$

dấu = xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VuQuyDat: 17-06-2018 - 23:04

[DOTOANNANG]

Ta đặt $x,\,y,\,z= \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c}$, giả thiết đổi thành $ab+ bc+ ca= 1,\,a,\,b,\,c> 1$

 

Bài toán trở thành bài tương tự dưới đây: https://diendantoanh...um-fraca21-2bb/

 

Lấy $a= b= c= \frac{1}{\sqrt{3}}$ thì ta có $\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}= \sqrt{3} - 2$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $c= \min \left \{ a,\,b,\,c \right \}$. Ta cần chứng minh:

 

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \frac{2\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )}{\sqrt{ab+ bc+ ca}}\geqq \left ( \sqrt{3}- 2 \right )\sqrt{ab+ bc+ ca}$$

 

$$\Leftrightarrow  \sqrt{ab+ bc+ ca}\,\left (\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}  \right )\geqq 2\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab \right )$$

 

$$\Leftrightarrow  \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{a}- a- b+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}- \frac{b^{2}}{a}- c+ a+ b+ c- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}\geqq 2\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right ) \right ]$$

 

$$\Leftrightarrow  \frac{\left ( a- b \right )^{2}\left ( a+ b \right )}{ab}+ \frac{\left ( c- a \right )\left ( c^{2}- b^{2} \right )}{ac} + a+ b+ c- \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}\geqq 2\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right ) \right ]$$

 

$$\Leftrightarrow  \left ( a- b \right )^{2}\left ( \underbrace{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- 2}_{>0} \right )+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right )\left ( \underbrace{\frac{1}{a}+ \frac{b}{ac}- 2}_{\geqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{a}- 2>0} \right )+ \frac{\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{a+ b+ c+ \sqrt{3\,\left ( ab+ bc+ ca \right )}}\geqq 0$$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 18-06-2018 - 07:54