Chủ đề này có 3 trả lời

[tr2512]

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$(\dfrac{a}{b+c})^2+(\dfrac{b}{a+c})^2+(\dfrac{c}{a+b})^2+\dfrac{128(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 46$$
$$\text{- Võ Quốc Bá Cẩn -}$$
Bất đẳng thức xảy ra tại $c=0, \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=4$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 18-06-2018 - 11:50

[tr2512]

Gợi ý: Đi chứng minh bổ đề:

$$(\dfrac{a}{b+c})^2+(\dfrac{b}{a+c})^2+(\dfrac{c}{a+b})^2 \geq \dfrac{a^4+b^4+c^4}{(ab+bc+ca)^2}$$

[tr2512]

Bài toán tổng quát:

$$\left( \dfrac{a}{b+c}\right) ^2+\left( \dfrac{b}{a+c}\right) ^2+\left( \dfrac{c}{a+b}\right) ^2+16k^3\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geqslant 12k^2-2$$

[viet9a14124869]

Gợi ý: Đi chứng minh bổ đề:

$$(\dfrac{a}{b+c})^2+(\dfrac{b}{a+c})^2+(\dfrac{c}{a+b})^2 \geq \dfrac{a^4+b^4+c^4}{(ab+bc+ca)^2}$$

i. Nếu một trong ba số a,b,c bằng 0 thì bổ để trở thành đẳng thức .

ii. Nếu không số nào trong ba số này bằng 0, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt : 

$$LHS \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{\sum a^6(b+c)^2}$$

Vậy ta đi chứng minh :

 $$(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)^2\geq \sum a^6(b+c)^2$$

$$\Leftrightarrow a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)+2abc(a^4b+b^4c+c^4a+ab^4+bc^4+ca^4)\geq 0$$

Bất đẳng thức trên đúng với mọi a,b,c dương , nên ta có điều phải chứng minh , dấu bằng xảy ra khi abc=0 .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 10-07-2018 - 11:30