Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định đa thức $f(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Xác định đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(f(-1))^2 + (f(1))^2 \ne 0$ và với mọi $n$ nguyên dương đủ lớn thì $f(n!) \vdots 2n+1$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 18-06-2018 - 19:57

Sống khỏe và sống tốt :D


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Lời giải sau của mình xem $f$ là đa thức hệ số nguyên. Giả sử tồn tại đa thức thỏa đề, gọi $\deg(f)=d$ và đặt $f(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0$.

Với mỗi $i\in \{0,1\}$, gọi $A_i$ là tổng các phần tử của tập hợp $\{a_k:k\equiv i\pmod{2}\}$. Với mỗi số nguyên tố $p$, đặt $x_p=\left ( \frac{p-1}{2} \right )!$. Theo định lí Wilson thì 

\[-1\equiv(p-1)!\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}x_p^2\pmod{p}.\]

Chọn $p\equiv 3\pmod{4}$ thì $x_p^2\equiv 1\pmod{p}$, áp dụng tính chất này ta có $A_0+x_pA_1\equiv f(x_p)\equiv 0 \pmod{p}$. Dẫn đến

\[A_0^2-A_1^2\equiv (A_0+x_pA_1)(A_0-x_pA_1)\equiv 0\pmod{p}.\]

Cho $p\to \infty$ thì $A_0^2-A_1^2=0$, nghĩa là $A_0=A_1$ hoặc $A_0+A_1=0$, tương đương $f(-1)=0$ hoặc $f(1)=0$ (mâu thuẫn gỉa thiết).


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh