Chủ đề này có 4 trả lời

[trang2004]

Cho a b c >0 Tìm Min P=$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9abc}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$

[VuQuyDat]

ở đây ta có thể chuẩn hóa a+b+c=3

khi đó 

$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3abc}{ab+bc+ca}$

ta cần cm: $P\geq 4$

bđ thức trên tương đương với

$(ab+bc+ca)^2+3a^2b^2c^2-4abc(ab+ac+bc)\geq 0$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca-abc)(ab+bc+ca-3abc)\geq 0$

dễ thấy 

$ab+bc+ca\geq 3abc$

và $ab+bc+ca-abc>0$

nên bđt trên đúng

$\Rightarrow P\geq 4$

vậy min P=4

khi a=b=c(=1)

[tr2512]

ở đây ta có thể chuẩn hóa a+b+c=3

khi đó 

$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3abc}{ab+bc+ca}$

ta cần cm: $P\geq 4$

bđ thức trên tương đương với

$(ab+bc+ca)^2+3a^2b^2c^2-4abc(ab+ac+bc)\geq 0$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca-abc)(ab+bc+ca-3abc)\geq 0$

dễ thấy 

$ab+bc+ca\geq 3abc$

và $ab+bc+ca-abc>0$

nên bđt trên đúng

$\Rightarrow P\geq 4$

vậy min P=4

khi a=b=c(=1)

Bạn có thể làm rõ đoạn tương đương được không, vì bất đẳng thức từ hoán vị mà tương đương được về đối xứng thì vi diêu quá ~~~~

[HelpMeImDying]

Cách khác, Đặt $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow P=x+y+z+\frac{9}{x+y+z+xy+yz+zx+3}\geq x+y+z+\frac{27}{3(x+y+z)+(x+y+z)^{2}+9}$

Đặt $x+y+z=t$, ta chứng minh $P\geq 4\Leftrightarrow \frac{t^{3}+3t^{2}+9t+27}{t^{2}+3t+9}\geq 4\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}-3t-9\geq 0\Leftrightarrow (t-3)(t^{2}+2t+3)\geq 0$ (luôn đúng do $t\geq 3$)

[VuQuyDat]

vang em sai cai cái chắc roi

chẳng hiểu lúc nhìn kiểu gì

 

Bạn có thể làm rõ đoạn tương đương được không, vì bất đẳng thức từ hoán vị mà tương đương được về đối xứng thì vi diêu quá ~~~~