Cho a b c >0 Tìm Min P=$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9abc}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$
Cho a b c >0 Tìm Min P=$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9abc}{(a+b+c)(ab+ac+bc)}$
#1
Đã gửi 19-06-2018 - 21:33
#2
Đã gửi 20-06-2018 - 22:04
ở đây ta có thể chuẩn hóa a+b+c=3
khi đó
$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3abc}{ab+bc+ca}$
ta cần cm: $P\geq 4$
bđ thức trên tương đương với
$(ab+bc+ca)^2+3a^2b^2c^2-4abc(ab+ac+bc)\geq 0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca-abc)(ab+bc+ca-3abc)\geq 0$
dễ thấy
$ab+bc+ca\geq 3abc$
và $ab+bc+ca-abc>0$
nên bđt trên đúng
$\Rightarrow P\geq 4$
vậy min P=4
khi a=b=c(=1)
- Tea Coffee và thanhdatqv2003 thích
#3
Đã gửi 22-06-2018 - 14:25
ở đây ta có thể chuẩn hóa a+b+c=3
khi đó
$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3abc}{ab+bc+ca}$
ta cần cm: $P\geq 4$
bđ thức trên tương đương với
$(ab+bc+ca)^2+3a^2b^2c^2-4abc(ab+ac+bc)\geq 0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca-abc)(ab+bc+ca-3abc)\geq 0$
dễ thấy
$ab+bc+ca\geq 3abc$
và $ab+bc+ca-abc>0$
nên bđt trên đúng
$\Rightarrow P\geq 4$
vậy min P=4
khi a=b=c(=1)
Bạn có thể làm rõ đoạn tương đương được không, vì bất đẳng thức từ hoán vị mà tương đương được về đối xứng thì vi diêu quá ~~~~
#4
Đã gửi 22-06-2018 - 14:48
Cách khác, Đặt $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1$
$\Rightarrow P=x+y+z+\frac{9}{x+y+z+xy+yz+zx+3}\geq x+y+z+\frac{27}{3(x+y+z)+(x+y+z)^{2}+9}$
Đặt $x+y+z=t$, ta chứng minh $P\geq 4\Leftrightarrow \frac{t^{3}+3t^{2}+9t+27}{t^{2}+3t+9}\geq 4\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}-3t-9\geq 0\Leftrightarrow (t-3)(t^{2}+2t+3)\geq 0$ (luôn đúng do $t\geq 3$)
- MarkGot7, Tea Coffee, MoMo123 và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 22-06-2018 - 21:27
vang em sai cai cái chắc roi
chẳng hiểu lúc nhìn kiểu gì
Bạn có thể làm rõ đoạn tương đương được không, vì bất đẳng thức từ hoán vị mà tương đương được về đối xứng thì vi diêu quá ~~~~
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh