Cho x y z>0 và x+y$\leq$z. Tìm min P=$(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$
Cho x y z>0 và x+y$\leq$z. Tìm min P=$(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$
#1
Đã gửi 19-06-2018 - 21:57
#2
Đã gửi 20-06-2018 - 12:23
Ta có
$$\frac{x^{4}+ y^{4}+ z^{4}}{2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}+ z^{4}}\geqq 1\geqq \frac{\frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}+ \frac{1}{z^{4}}}{\frac{1}{x^{4}}+ \frac{1}{y^{4}}+ \frac{1}{z^{4}}}$$
Hay
$$P\geqq \left [ 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}+ z^{4} \right ]\left [ \frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}+ \frac{1}{z^{4}} \right ]= \frac{2\left ( 16\,z^{4}- \left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4} \right )\left (z^{4}- \left ( x+ y \right )^{4} \right )}{\,z^{4}\left ( x+ y \right )^{4}}+ \frac{297}{8}\geqq \frac{297}{8}$$
Đúng do
$$x^{4}+ y^{4}- 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}= \frac{1}{8}\left ( x- y \right )^{2}\left ( 7\,x^{2}+ 10\,xy+ 7\,y^{2} \right )\geqq 0$$
$$\underbrace{\frac{1}{x^{4}}+ \frac{1}{y^{4}}\geqq 2\left ( \frac{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}{2} \right )^{4}}_{x^{4}+ y^{4}\geqq 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}= \underbrace{\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \right )^{4}\geqq \frac{32}{\left ( x+ y \right )^{4}}}_{\left ( a+ b \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \right )\geqq 4}= \frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 20-06-2018 - 12:42
- Tea Coffee, minhducndc và VuQuyDat thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh