Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x y z>0 và x+y$\leq$z. Tìm min P=$(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
trang2004

trang2004

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Cho x y z>0 và x+y$\leq$z. Tìm min P=$(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Ta có

 

$$\frac{x^{4}+ y^{4}+ z^{4}}{2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}+ z^{4}}\geqq 1\geqq \frac{\frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}+ \frac{1}{z^{4}}}{\frac{1}{x^{4}}+ \frac{1}{y^{4}}+ \frac{1}{z^{4}}}$$

 

Hay 

 

$$P\geqq \left [ 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}+ z^{4} \right ]\left [ \frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}+ \frac{1}{z^{4}} \right ]= \frac{2\left ( 16\,z^{4}- \left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4} \right )\left (z^{4}- \left ( x+ y \right )^{4}  \right )}{\,z^{4}\left ( x+ y \right )^{4}}+ \frac{297}{8}\geqq \frac{297}{8}$$

 

Đúng do

 

$$x^{4}+ y^{4}- 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}= \frac{1}{8}\left ( x- y \right )^{2}\left ( 7\,x^{2}+ 10\,xy+ 7\,y^{2} \right )\geqq 0$$

 

$$\underbrace{\frac{1}{x^{4}}+ \frac{1}{y^{4}}\geqq 2\left ( \frac{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}{2} \right )^{4}}_{x^{4}+ y^{4}\geqq 2\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}= \underbrace{\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \right )^{4}\geqq \frac{32}{\left ( x+ y \right )^{4}}}_{\left ( a+ b \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \right )\geqq 4}= \frac{2}{\left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{4}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 20-06-2018 - 12:42





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh