Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod p)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 334 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Gọi n là số các số chẵn nằm trong khoảng $(\frac{p}{2};p)$. Chứng minh rằng:

$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod \, p)$$

P/s : Lâu lâu nghịch lại thặng dư cũng hay hay(đùa  :D)

Chú ý: Không dùng thặng dư bình phương :D  để giải, hãy nêu một cách giải khác :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-06-2018 - 17:32


#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Cái này là tính chất của thặng dư bình phương thôi.

Có:

$\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^{n}$ ( Bổ đề Gauss)

$\left ( \frac{2}{p} \right )\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}$ (mod p) ( Tiêu chuẩn Euler)

$=>2^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{s}$ (mod p). (Đpcm)


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#3
MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 334 Bài viết

Cái này là tính chất của thặng dư bình phương thôi.
Có:
$\left ( \frac{2}{p} \right )=(-1)^{n}$ ( Bổ đề Gauss)
$\left ( \frac{2}{p} \right )\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}$ (mod p) ( Tiêu chuẩn Euler)
$=>2^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{s}$ (mod p). (Đpcm)

Em muốn anh nêu ra mấy cái chứng minh đó luôn, cho nó dễ hiểu :D

Có trong sách Tài liệu chuyên toán giải tích 12 đó em. Em tham khảo trong đó


Em muốn anh nêu ra ở đây cho nó dễ nhìn thôi,tiện cho việc hiểu bài :D  chứ cái này em cx chứng minh một lần trên VMF rồi :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-06-2018 - 11:12


#4
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Em muốn anh nêu ra mấy cái chứng minh đó luôn, cho nó dễ hiểu :D

Có trong sách Tài liệu chuyên toán giải tích 12 đó em. Em tham khảo trong đó


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#5
MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 334 Bài viết

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Gọi n là số các số chẵn nằm trong khoảng $(\frac{p}{2};p)$. Chứng minh rằng:

$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod \, p)$$

P/s : Lâu lâu nghịch lại thặng dư cũng hay hay(đùa  :D)

Chú ý: Không dùng thặng dư bình phương :D  để giải, hãy nêu một cách giải khác :D

 

Có trong sách Tài liệu chuyên toán giải tích 12 đó em. Em tham khảo trong đó

Ở đây em muốn nói đến cách không dùng thặng dư thôi , vì nó phức tạp mà đi thi mà chứng minh được mấy cái này cũng lòi mắt ra :D

 

Solution:

Giả sử $t_{1}; t_{2}; ....; t_{n}$ là các số chẵn trong khoảng $(\frac{p}{2};p)$ 

Vậy $ p-t_{1}; p-t_{2} ;......; p-t_{n}$ là các số lẻ trong khoảng $(0;\frac{p}{2})$

Gọi $q_{1}; q_{2}; ......; q_{m}$ là các số chẵn trong khoảng $(0;\frac{p}{2})$

Thì $m+n =\frac{p-1}{2}$

Ta có : Tập hợp $A=\left\{q_{1},q_{2},....,q_{m}, p-t_{1},p-t_{2},...p-t_{n} \right\}$ thì 

$A=\left\{1,2,.....,3,\frac{p-1}{2} \right\}$ 

Nên $q_{1}q_{2}...q_{n}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) =(\frac{p-1}{2})!$                                                                                              $(1)$

Mặt khác ta thấy $q_{1}q_{2}...q_{m}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) \equiv q_{1}q_{2}...(-t_{1})(-t_{2})...(-t_{n}) \,\,\,\, (mod p)$

$\Leftrightarrow q_{1}q_{2}...q_{m}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) \equiv (-1)^nq_{1}q_{2}...q_{m}t_{1}t_{2}...t_{n}\,\,\,\,(mod p)$                            $(2)$

Vì $q_{1},..,q_{m}; t_{1},...t_{n} $ là các số chẵn trong khoảng $(0;p)$

Nên $q_{1}...q_{m}t_{1}...t_{n}=2.4.6....(p-1)$

                                              $=(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)...(2.\frac{p-1}{2})$

                                              $=2^{\frac{p-1}{2}}.(\frac{p-1}{2})!$                                                                  $(3)$

Từ$ (1)(2)(3)  \Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n         \,\,\,\, (mod p)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-06-2018 - 18:13


#6
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Hình như chỉ có một cách giải dễ hiểu đó thôi. Chứng minh tổng quát luôn cho số bội của $k$


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh