Chủ đề này có 2 trả lời

[Leminhthuc]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) và có trọng tâm G. Gọi $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt là giao điểm của GA, GB, GC với (O). Chứng minh: $GA_{1}+GB_{1}+GC_{1}\geq GA+GB+GC$.

[VricRaet]

Ta có: $GA_{1}GA=GB_{1}GB=GC_{1}GC$

Kẻ đường kính $D_{1}D$ qua G sao cho OG vuông góc DD1 ta có $GA_{1}GA=$GD_{1}.GD$$=GD_{1}^{2}=R^{2}-OG^{2}$

$3\vec{OG}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OA} ->9OG^{2}=3R^{2}+2(\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OC}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC})$

Mà $2\vec{OA}.\vec{OB}=2R^{2}-(\vec{OA}-\vec{OB})^{2}=2R^{2}-c^{2}$

Tương tự suy ra $R^{2}-OG^{2}=\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})$

Xét: $GA_{1}+GB_{1}+GC_{1}=\frac{GA_{1}.GA}{GA}+\frac{GB_{1}.GB}{GB}+\frac{GC_{1}.GC}{GC}=(R^{2}-OG^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq \frac{1}{9}(GA+GB+GC)^{2}(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq GA+GB+GC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VricRaet: 23-06-2018 - 11:32

[Leminhthuc]

Ta có: $GA_{1}GA=GB_{1}GB=GC_{1}GC$

Kẻ đường kính $D_{1}D$ qua G sao cho OG vuông góc DD1 ta có $GA_{1}GA=$GD_{1}.GD$$=GD_{1}^{2}=R^{2}-OG^{2}$

$3\vec{OG}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OA} ->9OG^{2}=3R^{2}+2(\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OC}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC})$

Mà $2\vec{OA}.\vec{OB}=2R^{2}-(\vec{OA}-\vec{OB})^{2}=2R^{2}-c^{2}$

Tương tự suy ra $R^{2}-OG^{2}=\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})$

Xét: $GA_{1}+GB_{1}+GC_{1}=\frac{GA_{1}.GA}{GA}+\frac{GB_{1}.GB}{GB}+\frac{GC_{1}.GC}{GC}=(R^{2}-OG^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq \frac{1}{9}(GA+GB+GC)^{2}(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq GA+GB+GC$

Thanks bạn nhiều.