Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

Cho $a,\,b,\,c \in \left [ 1,\,2 \right ]$. Chứng minh rằng:

 

$$a\left ( a+ b \right )+ b\left ( b+ c \right )+ c\left ( c+ a \right )\geqq a^{3}+ b^{3}+ c^{3}$$

[minhducndc]

Do $a.b.c\leq 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)(b-2)\geq 0\\ (b-2)(c-2)\geq 0 \\ (a-2)(c-2)\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 4(a+b+c)-12$

Như vậy ta cần chứng minh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+12\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4(a+b+c)$

Do $1\leq a\leq 2\Rightarrow (a-1)(a-2)(a+2)\leq 0\Leftrightarrow a^{3}+4\leq a^{2}+4a$

Tương tự ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra tại (2,2,2) và (1,2,2) và các hoán vị.

[DOTOANNANG]

Dựa vào:

 

$$2\left \{ \,\,a\left ( a+ b \right )+ b\left ( b+ c \right )+ c\left ( c+ a \right ) \,\,\right \}= \left ( a+ b \right )^{2}+ \left ( b+ c \right )^{2}+ \left ( c+ a \right )^{2}$$

 

và:

 

$$\left ( a+ b \right )^{2}- a^{3}- b^{3}= \left ( a- 1 \right )\left ( 2\,b- a^{2} \right )+ b\left ( b+ 1 \right )\left ( 2- b \right )\geqq 0$$