Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số nguyên tố.

số nguyên tố ước số chia hết

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tkzThai

tkzThai

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 22-06-2018 - 15:21

Cho ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn $a$ là ước của $b+c+bc$, $b$ là ước của $c+a+ca$ và $c$ là ước của $a+b+ab$. Chứng minh $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số nguyên tố.

 

Mong mọi người giúp đỡ!



#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 22-06-2018 - 15:41

Hiện tại mình có một cách nhưng hơi dài.

Giả sử $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố.

Ta có:$\left\{\begin{matrix}b+c+bc\vdots a \\ a+b+ab\vdots c \\ c+a+ac\vdots b \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}b+c+bc+a(b+c+1)\vdots a \\ a+b+ab+c(a+b+1)\vdots c \\ c+a+ac+b(a+c+1)\vdots b \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}a+b+c+ab+bc+ac\vdots a \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots c \end{matrix}\right.$

Do $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố

$=>a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc$

Nhận thấy $a,b,c\epsilon \mathbb{P}=>a,b,c> 1=>a,b,c,ab,bc,ac< abc=>a+b+c+ab+bc+ac< 6abc$

$=>a+b+c+ab+bc+ac=abc,2abc,3abc,4abc,5abc$

Giải từng trường hợp tính ra $a,b,c$ nhưng thấy vô lý vì chúng đồng thời nguyên tố.

Để ý vai trò bình đẳng của $a,b,c$ để sắp xếp thứ tự.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 22-06-2018 - 15:47

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-06-2018 - 18:48

Hiện tại mình có một cách nhưng hơi dài.

Giả sử $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố.

Ta có:$\left\{\begin{matrix}b+c+bc\vdots a \\ a+b+ab\vdots c \\ c+a+ac\vdots b \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}b+c+bc+a(b+c+1)\vdots a \\ a+b+ab+c(a+b+1)\vdots c \\ c+a+ac+b(a+c+1)\vdots b \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}a+b+c+ab+bc+ac\vdots a \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b \\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots c \end{matrix}\right.$

Do $a,b,c$ đồng thời là số nguyên tố

$=>a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc$

Nhận thấy $a,b,c\epsilon \mathbb{P}=>a,b,c> 1=>a,b,c,ab,bc,ac< abc=>a+b+c+ab+bc+ac< 6abc$

$=>a+b+c+ab+bc+ac=abc,2abc,3abc,4abc,5abc$

Giải từng trường hợp tính ra $a,b,c$ nhưng thấy vô lý vì chúng đồng thời nguyên tố.

Để ý vai trò bình đẳng của $a,b,c$ để sắp xếp thứ tự.

Mình xin đề xuất một cách làm khác: Giả sử a,b,c đồng thời nguyên tố, biến đổi như bạn Tea Coffee ta đưa về được $a+b+c+ab+bc+ca \vdots abc$

Ta cm bằng quy nạp rằng với$a,b,c \geq 4 $ thì a+b+c+bc+ca+ab< abc. Khi a=b=c=4 thì VT=60<64=VP.

Giả sử rằng giả thiết a+b+c+ab+bc+ca <abc đúng. Khi ta cộng 1 vào 1 trong 3 số a,b,c ( giả sử là a ) thì VT tăng thêm b+c+1 và VP tăng thêm bc. Do $b,c \geq 4$ nên b+c+1<bc tức (a+1)+b+c+(a+1)b+(a+1)c+bc < (a+1)bc. Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học mệnh đề đúng với mọi $a,b,c \geq 4$

Xét các TH $a,b,c \leq 4$ (lưu ý là 3 số không đồng thời bằng 4). Vì a,b,c đồng thời nguyên tố nên ta xét lần lượt các TH (2,2,2);(2,2,3);(2,3,3);(3,3,3); thấy không thỏa nên ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 22-06-2018 - 20:37

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#4 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-07-2018 - 16:59

Thử đưa về bài toán quen thuộc xem có được không :D

Giả sử tồn tại $a,b,c$ là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài 

Theo Tea :D , ta lí luận được $a+b+c+ab+bc+ca \vdots abc$

Đặt $A.abc=a+b+c+ab+bc+ca$

Thì $(A+1).abc=(a+1)(b+1)(c+1)-1$ 

Đến đây lí luận được $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b \leq c$

Với $a $ lẻ thì $a\geq 3 ,\,\, b \geq 5\,\,\,\, c\geq 7$

Và $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} <1$

Cái này không được :D

Vậy nên $a=b=c=2$ (Càng không được :D )

Cho nên không tồn tại $a.b.c$ thỏa mãn đề bài  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 05-07-2018 - 17:07






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố, ước số, chia hết

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh