Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 23-06-2018 - 14:53

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$

$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

p/s: Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị. Ngoài cách dồn biến thông thường ra thì mình có tìm được 1 lời giải chỉ cần Cauchy-Schwarz, k biết còn cách nào không :D



#2 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 23-06-2018 - 19:22

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$

$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

p/s: Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị. Ngoài cách dồn biến thông thường ra thì mình có tìm được 1 lời giải chỉ cần Cauchy-Schwarz, k biết còn cách nào không :D

mình có 1 cách dùng UCT và vornicu schur

biến đổi bđt về dạng

$\sum (\frac{1}{a}-24a^{2})\geq 1$ (1)

Bằng UCT tìm ra bđt sau

$\frac{1}{a}-24a^{2}\geq -25a+\frac{26}{3}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0$

Như vậy $(1)\Leftrightarrow \sum \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(2a-b-c)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16)(a-c)(a-b)\geq 0$

Không mất tính tq giả sử $a\geq b\geq c$

Đặt $A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16;B=\frac{4}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-16;C=\frac{4}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-16$

Khi đó

$C\geq B\geq A$

Như vậy ta chỉ cấn cm $A\geq 0$

Ta có

$A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16\geq \frac{(2+1+1)^2}{a+b+c}-16\geq0$

Vậy bđt được cm

P/s: bạn nêu cách dùng cauchy-schwarz cho mọi người tham khảo


                                                                           Tôi là chính tôi


#3 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 23-06-2018 - 21:21

Đây là lời giải của mình:

Chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho $abc$, bất đẳng thức trở thành:

$\frac{1}{{abc}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 48\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{25}}{{abc}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left[ {a{{\left( { - a + 3b + 3c} \right)}^2} + b{{\left( { - b + 3c + 3{\rm{a}}} \right)}^2} + c{{\left( { - c + 3{\rm{a}} + 3b} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {5{\rm{a}} + 5b + 5c} \right)^2} = 25$

Đồng thời, ta có đẳng thức: 

${a{{\left( { - a + 3b + 3c} \right)}^2} + b{{\left( { - b + 3c + 3{\rm{a}}} \right)}^2} + c{{\left( { - c + 3{\rm{a}} + 3b} \right)}^2}}={{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 48{\rm{a}}bc}$

Như vây ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{{25}}{{1 + 48{\rm{a}}bc}}$

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta quy bài toán về chứng minh:
$\frac{{25}}{{abc\left( {1 + 48{\rm{a}}bc} \right)}} + \frac{{1200}}{{1 + 48{\rm{a}}bc}} \ge \frac{{25}}{{abc}}$

Tuy nhiên, thật bất ngờ :D bất đẳng thức trên lại chính là 1 đẳng thức.

Hoàn tất chứng minh



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 26-06-2018 - 08:00

Mình sẽ sử dụng kết quả của định lý EV và có propositiona sau (không phải là lemmab):

 

Với 3 số không âm $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$ & $0\leqq x_{1}\leqq x_{2}\leqq x_{3}$ sao cho:

 

$$x_{1}+ x_{2}+ x_{3}= a_{1}+ a_{2}+ a_{3}$$

 

$${x_{1}}^{p}+ {x_{2}}^{p}+ {x_{3}}^{p}= {a_{1}}^{p}+ {a_{2}}^{p}+ {a_{3}}^{p},\,\,\,\left ( p\leqq 0 \right )$$

 

thì $E= {x_{1}}^{q}+ {x_{2}}^{q}+ {x_{3}}^{q},\,\,\left ( q \in \left [ 1,\,\infty  \right ) \right )$ đạt cực đại khi $0< x_{1}= x_{2}\leqq x_{3}$

 

Áp dụng ngay cho $p= -\,1,\,q= 2$, xem như:

 

$$a+ b+ c= constant,\,\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= constant$$

 

thì:

 

$$\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ 24\left \{ \left ( a+ b+ c \right )^{2}- \left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \right \}\geqq 25$$

 

có $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}$ đạt cực đại với $0< a\leqq b\leqq c$ khi $0< a= b\leqq \frac{1}{3}\leqq c$, kết hợp $2\,a+ c= 1$ & ta chứng minh:

 

$$\frac{2}{a}+ \frac{1}{c}+ 48\left ( a^{2}+ 2\,ac \right )\geqq 25$$

 

 

: a proved and often interesting result, but generally less important than a theorem

: a minor result whose sole purpose is to help in proving a theorem


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-06-2018 - 08:34

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 12-07-2018 - 15:55

$$\left ( \frac{a+ b+ c}{abc}+ \frac{48}{\left ( a+ b+ c \right )^{2}} \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )- 25= \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- b \right )^{2}\left ( a+ b- 3\,c \right )^{2}}{ab\left ( a+ b+ c \right )^{2}}$$

 

 

 

Spoiler

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh