Cho số nguyên tố $p$ lẻ và $p\equiv 1\left ( mod 4 \right ).$ Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$
Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$
#1
Đã gửi 24-06-2018 - 16:39
#2
Đã gửi 25-06-2018 - 09:47
Cho số nguyên tố $p$ lẻ và $p\equiv 1\left ( mod 4 \right ).$ Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$
Xét $k. \binom{p}{k}=p.\frac{(p-k+1)(p-k+2)...(p-1)}{(k-1)!} $
Chú ý $(p-k+1)(p-k+2)...(p-1) \equiv (-1)(-2)...(-k+1) \equiv (-1)^{k-1}.(k-1)! (mod p)$
Và $((k-1)!,p)=1 $ (với $k<p$)
Từ đó $k. \binom{p}{k}=p.\frac{(p-k+1)(p-k+2)...(p-1)}{(k-1)!} \equiv p.(-1)^{k-1} (mod p^2) $
Suy ra $A \equiv p.[ (-1)^0+(-1)^1+...(-1)^{\frac{p-3}{2}} ]\equiv 0 (mod p^2)$ (với $p$ chia 4 dư 1)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 25-06-2018 - 09:56
- Zz Isaac Newton Zz, NHoang1608, Tea Coffee và 1 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#3
Đã gửi 26-06-2018 - 00:13
Sử dụng kết quả $\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^{k} (mod p)$ với $p$ nguyên tố và $0\leq k \leq p-1$
Với đẳng thức $k.\binom{p}{k}=p\binom{p-1}{k-1}$ thì ta có điều phải chứng minh.
Mở rộng là: $B=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{4}}.(-1)^{k-1}.\binom{p}{k} \equiv 3(2^{p-1}-1) (mod p^{2})$ (VMO 2017)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-06-2018 - 00:14
- Zz Isaac Newton Zz và Tea Coffee thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh