Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p>N$ thì $f(p)=p^{2}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện:

i. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có $f(m)+f(n)>mn.$

ii. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ thì  $f(m)+f(n)-mn$ là một ước của $mf(m)+nf(n).$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p>N$ thì $f(p)=p^{2}.$



#2
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Đề Bắc Giang TST 2017-2018

Captureac150a9c680ae8e1.png


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết
Dễ dàng có $f(1)=1$. Với $p$ là số nguyên tố, thay $m:=p,\ n:=1$ thì
\[f(p)+1-p\mid pf(p)+1\implies f(p)+1-p\mid p^2-p+1.\tag{$\ast$}\]
Thay $m:=p,\ n:=p$ thì
\[2f(p)-p^2\mid 2pf(p)\implies 2f(p)-p^2\mid p^3.\]
Từ đây suy ra $2f(p)-p^2\in \{1,p,p^2,p^3\}$, xét từng trường hợp kết hợp với $(\ast)$ suy ra $f(p)=p^2$ với $p$ đủ lớn.

Ghi chú. Có thể chứng minh $f(n)=n^2$ với mọi số nguyên dương $n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-01-2023 - 20:24

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh