Chủ đề này có 4 trả lời

[BurakkuYokuro11]

$\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum a^2$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.CMR : 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

[Khoa Linh]

https://diendantoanh...c1a2geq-sum-a2/

[minhhungtuan]

Không mất tính tổng quát gs $a\geq b\geq c$

Nếu $c\leq \frac{1}{3}$ thì$\frac{1}{a^{2}}$$\geq 9= (a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Nếu $c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a\leq \frac{7}{3}$

Ta chứng minh bdt sau với $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ (1)

$\frac{1}{a^{2}}-a^{2}\geq -4a+4 \leftrightarrow a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-1\leq 0 \leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-2a-1)\leq 0$

Ta có:$a^{2}-2a-1=(a-1)^{2}-2$

Mà $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ nên $\left | a-1 \right |\leq \frac{4}{3}\Rightarrow (a-1)^{2}-2< 0$

Vậy (1) đúng

Thiết lập các bất đằng thức tương tự (1) với a,b,c rồi cộng lại có dpcm.

[DOTOANNANG]

$1\,.$ $x_{i}$ trên đoạn $\left [ 0,\,1+ \sqrt{2} \right ]$ thì: 

 

$$\frac{1}{{x_{i}}^{2}}- {x_{i}}^{2}+ 4\left ( x_{i}- 1 \right )= \frac{\left ( x_{i}- 1 \right )^{2}\left [ 2- \left ( x_{i}- 1 \right )^{2} \right ]}{{x_{i}}^{2}}\geqq 0$$

 

$$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}}- a^{2}\geqq \sum\limits_{sym} 4\left ( 1- a \right )= 0$$

 

$2\,.$ $a>  1+ \sqrt{2}\,\,\wedge \,\,b,\,c< 2- \sqrt{2}$ thì:

 

$$\frac{1}{{x_{i}}^{2}}- {x_{i}}^{2}+ \frac{65}{12}\left ( x_{i}- 1 \right )= \frac{\left ( 6+ 15\,x_{i}- 4\,{x_{i}}^{2} \right )\left ( x_{i}- 1 \right )\left ( 3\,x_{i}- 2 \right )}{12{x_{i}}^{2}}> 0$$

 

Tập nghiệm bất phương trình $x_{i} \in \left ( \frac{15- \sqrt{321}}{8},\,0 \right )\cup\left ( 0,\,\frac{2}{3} \right ) \cup \left ( 1,\,\frac{15+ \sqrt{321}}{8} \right )$

 

$$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}}- a^{2}> \sum\limits_{sym} \frac{65}{12}\left ( 1- a \right )= 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 27-06-2018 - 09:40

[KietLW9]

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học