Chủ đề này có 4 trả lời

[DOTOANNANG]

Với $x,\,y,\,z\geqq 0$ chứng minh:

 

$$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,y}{z+ x}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,z}{x+ y}}\geqq 15$$

 

Spoiler

$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}\geqq 1+ \frac{40\,x}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}+ \frac{14\,x\left ( y+ z- 2\,x \right )^{2}}{\left ( 3\,y+ 3\,z+ 4\,x \right )\left ( \sum\limits_{cyc}x^{2}+  \sum\limits_{cyc}5\,xy \right )}$

 

$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{20\,x}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}+ \frac{7}{\sum\limits_{cyc}x^{2}+ \sum\limits_{cyc}5\,xy}\sum\limits_{cyc} \frac{x\left ( y+ z- 2\,x \right )^{2}}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}\geqq 6$

 

[Arthur Pendragon]

Hoặc có thể áp dụng bđt Mincopxki:

$\sqrt{1+\frac{48}{x+y}}+\sqrt{1+\frac{48}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{48}{z+x}} \geq\sqrt{(1+1+1)^2+48\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\right)^2}$

Giờ chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đang cập nhật... ))

 

[VuQuyDat]

Hoặc có thể áp dụng bđt Mincopxki:

$\sqrt{1+\frac{48}{x+y}}+\sqrt{1+\frac{48}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{48}{z+x}} \geq\sqrt{(1+1+1)^2+48\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\right)^2}$

Giờ chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đang cập nhật... ))

anh ơi dấu = xảy ra cả khi 1 trong 3 so =0 nữa nên cách naỳ nghe ko khả quan

[Ha Minh Hieu]

Ý TƯỞNG CỦA BÀI NÀY LÀ NGHĨ ĐẾN VIỆC SỬ DỤNG x/y+z  +  y/x+z    +  z/x+y   >=   3/2   theo nesbbit

 

DO ĐÓ TA ĐI PHÁ CĂN. 

TA ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER:

VT . VT . ( 1 + 1 + 1) >=  ( 3 + x/y+z   +  y/z+x    +   z/x+y) ^3

=> VT >=  15     

[tr2512]

Với $x,\,y,\,z\geqq 0$ chứng minh:

 

$$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,y}{z+ x}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,z}{x+ y}}\geqq 15$$

 

Spoiler

$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}\geqq 1+ \frac{40\,x}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}+ \frac{14\,x\left ( y+ z- 2\,x \right )^{2}}{\left ( 3\,y+ 3\,z+ 4\,x \right )\left ( \sum\limits_{cyc}x^{2}+  \sum\limits_{cyc}5\,xy \right )}$

 

$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{20\,x}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}+ \frac{7}{\sum\limits_{cyc}x^{2}+ \sum\limits_{cyc}5\,xy}\sum\limits_{cyc} \frac{x\left ( y+ z- 2\,x \right )^{2}}{3\,y+ 3\,z+ 4\,x}\geqq 6$

Lời giải

Do bất đẳng thức là đồng bậc, chuẩn hóa $a+b+c=3$. Lúc đó bất đẳng thức trở thành:

$$f(a)+f(b)+f(c) \geq 15$$

với $f(t)=\sqrt{1+\dfrac{48t}{3-t}}$

Không làm giảm tính tổng quát ta giả sử $c=min\{a,b,c\}$

TH1: $c \geq \dfrac{2}{9}$

Ta đi chứng minh:

$$\sqrt{1+\dfrac{48c}{3-c}} \geq \dfrac{18(c-1)}{5}+5$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{36(c-1)^2(9c-2)}{25(3-c)} \geq 0$$

Điều này luôn đúng do $c \geq \dfrac{2}{9}$

Lập các bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh

TH2: $c \leq \dfrac{2}{9}$

Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{1+\dfrac{48a}{3-a}} \geq \dfrac{32(a-1.5)}{7}+7$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{16(2a-3)^2(16a+1)}{49(3-a)} \geq 0$$

Bất đẳng thức này luôn đúng.

Lập bất đẳng thức tương tự với $b$ ta có:

$$\sqrt{1+\dfrac{48a}{3-a}}+\sqrt{1+\dfrac{48b}{3-b}} \geq -\dfrac{32c}{7}+14$$

Như vậy ta cần chứng minh:

$$-\dfrac{32c}{7}+\sqrt{1+\dfrac{48c}{3-c}} \geq 1$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{16c(64c^2-164c+63)}{49(3-c)} \geq 0$$

Bất đẳng thức này luôn đúng do $c \leq \dfrac{2}{9}$

Hoàn tất chứng minh.

Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b, c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 30-06-2018 - 08:39