Với $x,\,y,\,z\geqq 0$ chứng minh:
$$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,y}{z+ x}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,z}{x+ y}}\geqq 15$$
Hoặc có thể áp dụng bđt Mincopxki:
$\sqrt{1+\frac{48}{x+y}}+\sqrt{1+\frac{48}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{48}{z+x}} \geq\sqrt{(1+1+1)^2+48\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\right)^2}$
Giờ chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đang cập nhật... ))
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
Hoặc có thể áp dụng bđt Mincopxki:
$\sqrt{1+\frac{48}{x+y}}+\sqrt{1+\frac{48}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{48}{z+x}} \geq\sqrt{(1+1+1)^2+48\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\right)^2}$
Giờ chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đang cập nhật... ))
anh ơi dấu = xảy ra cả khi 1 trong 3 so =0 nữa nên cách naỳ nghe ko khả quan
Ý TƯỞNG CỦA BÀI NÀY LÀ NGHĨ ĐẾN VIỆC SỬ DỤNG x/y+z + y/x+z + z/x+y >= 3/2 theo nesbbit
DO ĐÓ TA ĐI PHÁ CĂN.
TA ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER:
VT . VT . ( 1 + 1 + 1) >= ( 3 + x/y+z + y/z+x + z/x+y) ^3
=> VT >= 15
Với $x,\,y,\,z\geqq 0$ chứng minh:
$$\sqrt{1+ \frac{48\,x}{y+ z}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,y}{z+ x}}+ \sqrt{1+ \frac{48\,z}{x+ y}}\geqq 15$$
Spoiler
Lời giải
Do bất đẳng thức là đồng bậc, chuẩn hóa $a+b+c=3$. Lúc đó bất đẳng thức trở thành:
$$f(a)+f(b)+f(c) \geq 15$$
với $f(t)=\sqrt{1+\dfrac{48t}{3-t}}$
Không làm giảm tính tổng quát ta giả sử $c=min\{a,b,c\}$
TH1: $c \geq \dfrac{2}{9}$
Ta đi chứng minh:
$$\sqrt{1+\dfrac{48c}{3-c}} \geq \dfrac{18(c-1)}{5}+5$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{36(c-1)^2(9c-2)}{25(3-c)} \geq 0$$
Điều này luôn đúng do $c \geq \dfrac{2}{9}$
Lập các bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh
TH2: $c \leq \dfrac{2}{9}$
Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{1+\dfrac{48a}{3-a}} \geq \dfrac{32(a-1.5)}{7}+7$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{16(2a-3)^2(16a+1)}{49(3-a)} \geq 0$$
Bất đẳng thức này luôn đúng.
Lập bất đẳng thức tương tự với $b$ ta có:
$$\sqrt{1+\dfrac{48a}{3-a}}+\sqrt{1+\dfrac{48b}{3-b}} \geq -\dfrac{32c}{7}+14$$
Như vậy ta cần chứng minh:
$$-\dfrac{32c}{7}+\sqrt{1+\dfrac{48c}{3-c}} \geq 1$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{16c(64c^2-164c+63)}{49(3-c)} \geq 0$$
Bất đẳng thức này luôn đúng do $c \leq \dfrac{2}{9}$
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b, c=0$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 30-06-2018 - 08:39
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh