Chủ đề này có 3 trả lời

[Lao Hac]

Cho a, b, c là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng 12. CMR trong 3 phương trình sau đây có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm . 

$x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0,x^2+cx+a=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 28-06-2018 - 20:40

[thanhdatqv2003]

Ta có: $\Delta^{'} _{1}+\Delta^{'} _{2}+\Delta^{'} _{3}=(b^2+ac)+(c^2+ab)+(a^2+bc)=\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\geqslant 0$

Suy ra: 1 trong 3 đen ta phẩy phải có 1 đen ta phẩy $\geqslant 0$ (Giả sử ko có đen ta phẩy nào $\geqslant 0$ thì vô lý )

      Nên ít nhất 1 trong 3 pt bậc 2 trên có nghiệm

P/s; Thay $\Delta ^{'}=\Delta$

[Lao Hac]

 

Ta có: $\Delta^{'} _{1}+\Delta^{'} _{2}+\Delta^{'} _{3}=(b^2+ac)+(c^2+ab)+(a^2+bc)=\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\geqslant 0$

Suy ra: 1 trong 3 đen ta phẩy phải có 1 đen ta phẩy $\geqslant 0$ (Giả sử ko có đen ta phẩy nào $\geqslant 0$ thì vô lý )

      Nên ít nhất 1 trong 3 pt bậc 2 trên có nghiệm

P/s; Thay $\Delta ^{'}=\Delta$

 

anh ơi, em có điều muốn nói, đó là đề yêu cầu CM có ít nhất 1 phương trình VÔ NGHIỆM anh ạ :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 28-06-2018 - 18:37

[languyengiahy]

Giả sử cả ba phương trình $x^{2}+ax+b, x^{2}+bx+c, x^{2}+cx+a$ đều vô nghiệm.

$\Rightarrow a^{2}-4b+b^{2}-4c+c^{2}-4a<0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}<4.12=48$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=48$ nên điều giả sử sai. Suy ra có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Giả sử cả ba phương trình có nghiệm $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq 4b\\ b^{2}\geq 4c\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{8}\geq 256b^{4}\\ b^{4}\geq 16c^{2}\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a^{8}\geq 256.16.4a \Leftrightarrow a\geq 4$. Tương tự, ta có $b\geq 4, c\geq 4 \Rightarrow a+b+c\geq 12$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4. Điều này vô lí vì theo gt a, b, c đôi một khác nhau. Vậy có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi languyengiahy: 28-06-2018 - 21:19