Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$
Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$
Cho số thực a, b thỏa mãn $a+b\geq 2$. CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
$x^2+2a^2bx+b^5=0;x^2+2b^2ax+a^5=0$
Giả sử điều ngược lại. Xét $a+b \geq 2$ ta có $2(a^3+b^3) \leq (a+b)(a^3+b^3)=a^4+b^4+a^3b+b^3a \leq 2(a^4+b^4)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3 \leq a^4+b^4$ (*)
$x^2+2a^2bx+b^5=0 (1); x^2+2b^2ax+a^5=0 (2)$
a=0 thì (2) có nghiệm, b=0 thì (1) có nghiệm. Tức $ab \neq 0$ nên ta có:
$\frac{\Delta'_1}{b^2}=\frac{a^4b^2-b^5}{b^2}=a^4-b^3<0$
Cmtt ta có $\frac{\Delta'_2}{a^2}=\frac{b^4a^2-a^5}{a^2}=b^4-a^3<0$
$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3<0$
Nhưng theo bđt (*) điều này vô lý nên ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 28-06-2018 - 17:29
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh