Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng $n \vdots 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-06-2018 - 09:46

Cho $a,b,c,n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=13^n$. Chứng minh rằng $n \vdots 2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 30-06-2018 - 09:46


#2 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 01-07-2018 - 18:21

$\left\{\begin{matrix} a+bc=13^x & & \\ b+ac=13^y& & \end{matrix}\right.$

 

Neu $x=y$ thi ta co dpcm

 

Ta se chung minh $x=y$ trong moi truong hop: 

 

Gia su $x>y$ thi $b>a$:

 

$\Rightarrow 13^xa-a^2=13^y.b-b^2\Rightarrow (b-a)(b+a)=13^y(b-13^{x-y}a)$ $(1)$

 

Mat khac ta co: $\left\{\begin{matrix} (b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1) & & \\ (b+a)(c+1)=13^y(13^{x-y}+1) & & \end{matrix}\right.$

 

Neu  $a,b$ deu chia het cho 13. 

 

De cm $v_{13}(a)=v_{13}(b)=m$ khi do: $a=13^m.t$ va $b=13^m.s$ $((t,13)=(s,13)=1)$ suy ra: $\left\{\begin{matrix} t+sc=13^{n-m} & & \\ s+tc=13^{n-m} & & \end{matrix}\right.$

 

Khi do ta co bo moi la :$(t,s,n-m)$ va $13$ khong la uoc cua $t,s$

 

Do do khong mat tinh tong quat gia su $13$ khong la uoc cua $a,b$

 

Khi do trong 2 so $b-a$ va $b+a$ chi co mot so chia het cho 13 va trong 2 so $c-1$ va $c+1$ cung vay. Do do: $v_{13}(c-1)=y$ hoac $v_{13}(c+1)=y$

 

TH1: $v_{13}(c-1)=y$, i,e $c-1=13^y.s$ va $b+a=13^y.t$ suy ra $(b-a)s=13^{x-y}-1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b-a)t=b-13^{x-y}a$. Do do:$ t.(13^{x-y}-1)=s(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $t+bs=13^{x-y}(t+as)$. Vi $(t+bs)-(t+as)$ khong chia het cho $13$ nen $t+as=1$ khi do:$t=1,s=0$ suy ra: $c=1$ hay $x=y$ (mau thuan voi gia su)

 

TH2: $v_{13}(c+1)=y$,  i,e $c+1=13^y.k$ va $b-a=13^y.l$ suy ra $(b+a)k=13^{x-y}+1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b+a)l=b-13^{x-y}a$. Do do: $l.(13^{x-y}+1)=k(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $kb-l=13^{x-y}(l+ak)$. Vi $(kb-l)+(l+ak)$ khong chia het cho $13$ nen $l+ak=1$ khi do:$l=1,k=0$ suy ra: $c=-1$ (mau thuan voi gia thiet)

 

Vay trong moi TH ta co $x=y$ va co dpcm

 

 

 

 


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#3 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-07-2018 - 16:49

Lâu lâu chơi bài này cho vui :P
Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Ta có:
$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$
$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$
Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên
TH1"
$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào :D )
TH2:
$b+a=13^y$
Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$
Vậy nên $2|n(Q.E.D)$
P/s: Trường hợp x và y bằng nhau thì tự xét :D .Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:34


#4 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 07-07-2018 - 22:04

Lâu lâu chơi bài này cho vui :P

Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Ta có:

$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$

$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$

Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên

TH1"

$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào :D )

TH2:

$b+a=13^y$

Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$

Vậy nên $2|n(Q.E.D)$

P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm :D

 

Tach ra 2 TH sai roi kia


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#5 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-07-2018 - 22:14

Tach ra 2 TH sai roi kia


Sai ở đâu ạ , anh giải thích em xem với ạ :)

#6 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 06:31

Lâu lâu chơi bài này cho vui :P

Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Ta có:

$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$

$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$

Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên

TH1"

$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào :D )

TH2:

$b+a=13^y$

Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$

Vậy nên $2|n(Q.E.D)$

P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm :D

XÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được

Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn 



#7 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-07-2018 - 08:23

XÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được
Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn

Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tố

#8 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 08:32

Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tố

Theo giả thiết của anh thì  c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13

+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13

+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể



#9 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-07-2018 - 08:41

Theo giả thiết của anh thì c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13
+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13
+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể

Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13
, nếu$c+1$ chia hết 13 thì $a-b$ cũng như vậy và ngược lại

Ở đây mình xét 2 trường hợp là nếu $c-1$ chia hết 13, thì $c+1$ sẽ không chia hết 13 và lúc ấy $b+a$ sẽ chỉ có thể như vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:45


#10 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 08:44

Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13


Ở đây mình xét 2 trường hợp là nếu $c-1$ chia hết 13, thì $c+1$ sẽ không chia hết 13 và lúc ấy $b+a$ sẽ chỉ có thể như vậy, trường hợp còn lại cũng tương tự, nếu bạn cho là bạn đúng, hãy lấy một phản ví dụ cho ình xem

NẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.

VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)

=> nó vẫn có chứa 2



#11 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-07-2018 - 08:47

NẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.
VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)
=> nó vẫn có chứa 2

$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ sao :D
Hiện tại mình đang on bằng đt nên ko lên đc nữa, máy sắp sập nguồn :D , tối mình đánh lại :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:48


#12 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 08:50

$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ sao :D
Hiện tại mình đang on bằng đt nên ko lên đc nữa, máy sắp sập nguồn :D , tối mình đánh lại :D

lấy c = 100 thử xem  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :luoi:



#13 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-07-2018 - 10:02

lấy c = 100 thử xem :luoi: :luoi: :luoi: :luoi: :luoi:

Mình làm tạm nhé, th còn lại thì bạn tự xét :)

$a+b=13^y.x$ thì $a+b =(b+ac).x$
Vì $b+ac \geq a+b$ Nên $x\leq 1$ vậy thì $x=1$
Đến đây chắc bạn ko thắc mắc nữa đúng ko :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 10:02


#14 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 11:06

Mình làm tạm nhé, th còn lại thì bạn tự xét :)

$a+b=13^y.x$ thì $a+b =(b+ac).x$
Vì $b+ac \geq a+b$ Nên $x\leq 1$ vậy thì $x=1$
Đến đây chắc bạn ko thắc mắc nữa đúng ko :)

OK anh, em hiểu rồi. Nhưng theo em, thì chỗ đó anh nên giải thích hơn một chút






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh