Chủ đề này có 13 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

Cho $a,b,c,n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=13^n$. Chứng minh rằng $n \vdots 2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 30-06-2018 - 09:46

[Namthemaster1234]

$\left\{\begin{matrix} a+bc=13^x & & \\ b+ac=13^y& & \end{matrix}\right.$

 

Neu $x=y$ thi ta co dpcm

 

Ta se chung minh $x=y$ trong moi truong hop: 

 

Gia su $x>y$ thi $b>a$:

 

$\Rightarrow 13^xa-a^2=13^y.b-b^2\Rightarrow (b-a)(b+a)=13^y(b-13^{x-y}a)$ $(1)$

 

Mat khac ta co: $\left\{\begin{matrix} (b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1) & & \\ (b+a)(c+1)=13^y(13^{x-y}+1) & & \end{matrix}\right.$

 

Neu  $a,b$ deu chia het cho 13. 

 

De cm $v_{13}(a)=v_{13}(b)=m$ khi do: $a=13^m.t$ va $b=13^m.s$ $((t,13)=(s,13)=1)$ suy ra: $\left\{\begin{matrix} t+sc=13^{n-m} & & \\ s+tc=13^{n-m} & & \end{matrix}\right.$

 

Khi do ta co bo moi la :$(t,s,n-m)$ va $13$ khong la uoc cua $t,s$

 

Do do khong mat tinh tong quat gia su $13$ khong la uoc cua $a,b$

 

Khi do trong 2 so $b-a$ va $b+a$ chi co mot so chia het cho 13 va trong 2 so $c-1$ va $c+1$ cung vay. Do do: $v_{13}(c-1)=y$ hoac $v_{13}(c+1)=y$

 

TH1: $v_{13}(c-1)=y$, i,e $c-1=13^y.s$ va $b+a=13^y.t$ suy ra $(b-a)s=13^{x-y}-1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b-a)t=b-13^{x-y}a$. Do do:$ t.(13^{x-y}-1)=s(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $t+bs=13^{x-y}(t+as)$. Vi $(t+bs)-(t+as)$ khong chia het cho $13$ nen $t+as=1$ khi do:$t=1,s=0$ suy ra: $c=1$ hay $x=y$ (mau thuan voi gia su)

 

TH2: $v_{13}(c+1)=y$,  i,e $c+1=13^y.k$ va $b-a=13^y.l$ suy ra $(b+a)k=13^{x-y}+1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b+a)l=b-13^{x-y}a$. Do do: $l.(13^{x-y}+1)=k(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $kb-l=13^{x-y}(l+ak)$. Vi $(kb-l)+(l+ak)$ khong chia het cho $13$ nen $l+ak=1$ khi do:$l=1,k=0$ suy ra: $c=-1$ (mau thuan voi gia thiet)

 

Vay trong moi TH ta co $x=y$ va co dpcm

 

 

 

 

[MoMo123]

Lâu lâu chơi bài này cho vui
Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Ta có:
$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$
$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$
Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên
TH1"
$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )
TH2:
$b+a=13^y$
Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$
Vậy nên $2|n(Q.E.D)$
P/s: Trường hợp x và y bằng nhau thì tự xét .Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:34

[Namthemaster1234]

Lâu lâu chơi bài này cho vui

Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Ta có:

$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$

$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$

Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên

TH1"

$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )

TH2:

$b+a=13^y$

Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$

Vậy nên $2|n(Q.E.D)$

P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm

 

Tach ra 2 TH sai roi kia

[MoMo123]

Tach ra 2 TH sai roi kia

Sai ở đâu ạ , anh giải thích em xem với ạ

[Ha Minh Hieu]

Lâu lâu chơi bài này cho vui

Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Ta có:

$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$

$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$

Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên

TH1"

$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )

TH2:

$b+a=13^y$

Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$

Vậy nên $2|n(Q.E.D)$

P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm

XÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được

Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn 

[MoMo123]

XÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được
Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn

Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tố

[Ha Minh Hieu]

Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tố

Theo giả thiết của anh thì  c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13

+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13

+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể

[MoMo123]

Theo giả thiết của anh thì c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13
+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13
+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể

Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13
, nếu$c+1$ chia hết 13 thì $a-b$ cũng như vậy và ngược lại

Ở đây mình xét 2 trường hợp là nếu $c-1$ chia hết 13, thì $c+1$ sẽ không chia hết 13 và lúc ấy $b+a$ sẽ chỉ có thể như vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:45

[Ha Minh Hieu]

Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13


Ở đây mình xét 2 trường hợp là nếu $c-1$ chia hết 13, thì $c+1$ sẽ không chia hết 13 và lúc ấy $b+a$ sẽ chỉ có thể như vậy, trường hợp còn lại cũng tương tự, nếu bạn cho là bạn đúng, hãy lấy một phản ví dụ cho ình xem

NẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.

VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)

=> nó vẫn có chứa 2

[MoMo123]

NẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.
VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)
=> nó vẫn có chứa 2

$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ sao
Hiện tại mình đang on bằng đt nên ko lên đc nữa, máy sắp sập nguồn , tối mình đánh lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:48

[Ha Minh Hieu]

$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ sao
Hiện tại mình đang on bằng đt nên ko lên đc nữa, máy sắp sập nguồn , tối mình đánh lại

lấy c = 100 thử xem         

[MoMo123]

lấy c = 100 thử xem

Mình làm tạm nhé, th còn lại thì bạn tự xét

$a+b=13^y.x$ thì $a+b =(b+ac).x$
Vì $b+ac \geq a+b$ Nên $x\leq 1$ vậy thì $x=1$
Đến đây chắc bạn ko thắc mắc nữa đúng ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 10:02

[Ha Minh Hieu]

Mình làm tạm nhé, th còn lại thì bạn tự xét

$a+b=13^y.x$ thì $a+b =(b+ac).x$
Vì $b+ac \geq a+b$ Nên $x\leq 1$ vậy thì $x=1$
Đến đây chắc bạn ko thắc mắc nữa đúng ko

OK anh, em hiểu rồi. Nhưng theo em, thì chỗ đó anh nên giải thích hơn một chút