Đến nội dung

Hình ảnh

kĩ thuật đổi biến kết hợp BDT Cauchy chọn điểm rơi

- - - - - bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

1/ CMR: $\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac} + \frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb} + \frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba} \geq \sqrt{3}$ $\forall a,b,c> 0$ , $ab+bc+ca=abc$

2/ CMR: $\frac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}} + \frac{2\sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}} + \frac{2\sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ $\forall x,y,z> 0$



#2
VricRaet

VricRaet

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

1/$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}=\sqrt{\frac{a^{2}+2c^{2}}{a^{2}c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}}} =>\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac} + \frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb} + \frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}=\sum \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}}}$

Từ đk suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Đặt: $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z (x,y,z> 0;x+y+z=1)$

Cần chứng minh: $\sum \sqrt{x^{2}+2y^{2}}\geq \sqrt{3}$

Sử dụng bđt: $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$ có ngay bđt trên

2/ Dự đoán điểm rơi tại x=y=z=1
Xét:$x^{3}+y^{2}\geq 2yx\sqrt{x}$ 
Ta cần c/m bđt: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$
Mà bđt này đúng 
Ta có đpcm







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh