Câu hỏi:
Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.
CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$
Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ!
Câu hỏi:
Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.
CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$
Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ!
Câu hỏi:
Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.
CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$
Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ!
ta có $(1-m)b^{2}+(1-m)c^{2}\geq 2(1-m)bc$ (0<=m<=1)
$mb^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ab$
$mc^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ac$
dau = sảy ra khi 1-m=$\sqrt{2m}$
nên m=$2-\sqrt{3}$(vì m<0)
song bạn thay vào chỗ có m là ra nhé
Quẳng gánh lo đi và vui sống
Ta có được đẳng thức sau:
$ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )= $
$$= a\left ( x- \frac{kfd+ kfz}{2\,a} \right )^{2}+ \frac{\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )\left ( y- \frac{4\,akez+ 2\,k^{2}dfz}{2\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )} \right )^{2}}{4\,a}- \frac{16\,z^{2}\left [ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc \right ]}{4\,ab- k^{2}d^{2}}$$
Ta được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\geqq 0$ thông qua việc chọn $k$
Ta có được đẳng thức sau:
$ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )= $
$$= a\left ( x- \frac{kfd+ kfz}{2\,a} \right )^{2}+ \frac{\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )\left ( y- \frac{4\,akez+ 2\,k^{2}dfz}{2\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )} \right )^{2}}{4\,a}- \frac{16\,z^{2}\left [ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc \right ]}{4\,ab- k^{2}d^{2}}$$
Ta được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\geqq 0$ thông qua việc chọn $k$
$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & > 0\\ k & > 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$Tuy nhiên, ta không cần tìm nữa vì từ bài toán dễ dàng thấy $k= 2\left ( \sqrt{3}- 1 \right )$ và thỏa cả điều kiện trên!Tương tự cũng có thể dựa vào cách này để được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\leqq 0$ thông qua $k$$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & < 0\\ k & < 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$(ở đây bài toán đúng với $a< 0$, tuy nhiên tùy vào bài toán mà đúng với $b,\,c> 0$ cho phù hợp)
Dạng bài này thuộc loại tam thức bậc hai:
$\left ( 1+ \sqrt{3} \right )\left ( 4\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 4\left ( ab+ bc+ ca \right ) \geqq 0$
$$\Leftrightarrow \Delta_{a}= -\frac{16\left ( 5\sqrt{3}\,b^{2}+ 9\,b^{2}- 10\sqrt{3}\,bc- 18\,bc+ 5\sqrt{3}\,c^{2}+ 9\,c^{2} \right )}{1+ \sqrt{3}}= -\frac{16\left ( 9+ 5\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}}{1+ \sqrt{3}}= -16\left ( 3+ 2\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}\leqq 0$$
Một ví dụ khác:
$$\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ kbc}\geqq 2\sqrt{\frac{1}{k^{2}+ 1}}\,\,\left ( k\geqq 0 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( b^{2}+ a^{2}- 2\,bc+ c^{2} \right )\left ( b^{2}+ a^{2}+ 2\,bc+ c^{2} \right )k^{2}- 8\,b^{2}cak+ \left ( b^{2}+ 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\left ( b^{2}- 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\geqq 0$$
$$\Leftrightarrow \Delta_{k}= - \left \{ 2 \left [ \left ( a^{2}+ c^{2} \right )^{2}- {b^{2}}^{2} \right ] \right \}^{2}$$
Vì sao có m điều kiện$0\leq m \leq1$ta có $(1-m)b^{2}+(1-m)c^{2}\geq 2(1-m)bc$ (0<=m<=1)
$mb^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ab$
$mc^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ac$
dau = sảy ra khi 1-m=$\sqrt{2m}$
nên m=$2-\sqrt{3}$(vì m<0)
song bạn thay vào chỗ có m là ra nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 12-08-2018 - 08:21
Dạng bài này thuộc loại tam thức bậc hai:
$\left ( 1+ \sqrt{3} \right )\left ( 4\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 4\left ( ab+ bc+ ca \right ) \geqq 0$
$$\Leftrightarrow \Delta_{a}= -\frac{16\left ( 5\sqrt{3}\,b^{2}+ 9\,b^{2}- 10\sqrt{3}\,bc- 18\,bc+ 5\sqrt{3}\,c^{2}+ 9\,c^{2} \right )}{1+ \sqrt{3}}= -\frac{16\left ( 9+ 5\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}}{1+ \sqrt{3}}= -16\left ( 3+ 2\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}\leqq 0$$
Một ví dụ khác:
$$\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ kbc}\geqq 2\sqrt{\frac{1}{k^{2}+ 1}}\,\,\left ( k\geqq 0 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( b^{2}+ a^{2}- 2\,bc+ c^{2} \right )\left ( b^{2}+ a^{2}+ 2\,bc+ c^{2} \right )k^{2}- 8\,b^{2}cak+ \left ( b^{2}+ 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\left ( b^{2}- 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\geqq 0$$
$$\Leftrightarrow \Delta_{k}= - \left \{ 2 \left [ \left ( x^{2}+ z^{2} \right )^{2}- {y^{2}}^{2} \right ] \right \}^{2}$$
Anh ơi cho em hỏi, đây là phương pháp gì vậy ạ? Em thấy hay quá nên muốn học
Mình cũng đang tìm hiểu ,hình như kiến thức lớp 10Anh ơi cho em hỏi, đây là phương pháp gì vậy ạ? Em thấy hay quá nên muốn học
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh