Đến nội dung

Hình ảnh

$ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
buingoctu

buingoctu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Câu hỏi:

Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.

CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ! 



#2
doctor lee

doctor lee

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Câu hỏi:

Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.

CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ! 

ta có $(1-m)b^{2}+(1-m)c^{2}\geq 2(1-m)bc$ (0<=m<=1)

    $mb^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ab$

$mc^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ac$

dau = sảy ra khi 1-m=$\sqrt{2m}$

nên m=$2-\sqrt{3}$(vì m<0)

song bạn thay vào chỗ có m là ra nhé


                  %%-   Quẳng gánh lo đi và vui sống   %%- 


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Ta có được đẳng thức sau:

 

$ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )= $

 

$$= a\left ( x- \frac{kfd+ kfz}{2\,a} \right )^{2}+ \frac{\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )\left ( y- \frac{4\,akez+ 2\,k^{2}dfz}{2\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )} \right )^{2}}{4\,a}- \frac{16\,z^{2}\left [ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc \right ]}{4\,ab- k^{2}d^{2}}$$

 

Ta được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\geqq 0$ thông qua việc chọn $k$

 

$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & > 0\\ k & > 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$
 
Tuy nhiên, ta không cần tìm nữa vì từ bài toán dễ dàng thấy $k= 2\left ( \sqrt{3}- 1 \right )$ và thỏa cả điều kiện trên!
 
Tương tự cũng có thể dựa vào cách này để được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\leqq 0$ thông qua $k$
 
$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & < 0\\ k & < 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$
 
(ở đây bài toán đúng với $a< 0$, tuy nhiên tùy vào bài toán mà đúng với $b,\,c> 0$ cho phù hợp)
 
 

 

 



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

 

Ta có được đẳng thức sau:

 

$ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )= $

 

$$= a\left ( x- \frac{kfd+ kfz}{2\,a} \right )^{2}+ \frac{\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )\left ( y- \frac{4\,akez+ 2\,k^{2}dfz}{2\left ( 4\,ab- k^{2}d^{2} \right )} \right )^{2}}{4\,a}- \frac{16\,z^{2}\left [ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc \right ]}{4\,ab- k^{2}d^{2}}$$

 

Ta được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\geqq 0$ thông qua việc chọn $k$

 

$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & > 0\\ k & > 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$
 
Tuy nhiên, ta không cần tìm nữa vì từ bài toán dễ dàng thấy $k= 2\left ( \sqrt{3}- 1 \right )$ và thỏa cả điều kiện trên!
 
Tương tự cũng có thể dựa vào cách này để được $ax^{2}+ by^{2}+ cz^{2}- k\left ( dxy+ eyz+ fzx \right )\leqq 0$ thông qua $k$
 
$$\left\{\begin{matrix}4\,ab- k^{2}d^{2} & < 0\\ k & < 0\\ defk^{3}+ \left ( d^{2}+ ae^{2}+ bf^{2} \right )k^{2}- 4\,abc & = 0 \end{matrix}\right.$$
 
(ở đây bài toán đúng với $a< 0$, tuy nhiên tùy vào bài toán mà đúng với $b,\,c> 0$ cho phù hợp)

 

 

Dạng bài này thuộc loại tam thức bậc hai:

 

$\left ( 1+ \sqrt{3} \right )\left ( 4\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 4\left ( ab+ bc+ ca \right ) \geqq 0$

 

$$\Leftrightarrow \Delta_{a}= -\frac{16\left ( 5\sqrt{3}\,b^{2}+ 9\,b^{2}- 10\sqrt{3}\,bc- 18\,bc+ 5\sqrt{3}\,c^{2}+ 9\,c^{2} \right )}{1+ \sqrt{3}}= -\frac{16\left ( 9+ 5\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}}{1+ \sqrt{3}}= -16\left ( 3+ 2\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}\leqq 0$$

 

Một ví dụ khác:

 

$$\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ kbc}\geqq 2\sqrt{\frac{1}{k^{2}+ 1}}\,\,\left ( k\geqq 0 \right )$$

 

$$\Leftrightarrow  \left ( b^{2}+ a^{2}- 2\,bc+ c^{2} \right )\left ( b^{2}+ a^{2}+ 2\,bc+ c^{2} \right )k^{2}- 8\,b^{2}cak+ \left ( b^{2}+ 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\left ( b^{2}- 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow  \Delta_{k}= - \left \{ 2 \left [ \left ( a^{2}+ c^{2} \right )^{2}- {b^{2}}^{2} \right ] \right \}^{2}$$



#5
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

ta có $(1-m)b^{2}+(1-m)c^{2}\geq 2(1-m)bc$ (0<=m<=1)
$mb^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ab$
$mc^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ac$
dau = sảy ra khi 1-m=$\sqrt{2m}$
nên m=$2-\sqrt{3}$(vì m<0)
song bạn thay vào chỗ có m là ra nhé

Vì sao có m điều kiện$0\leq m \leq1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 12-08-2018 - 08:21


#6
ThinhThinh123

ThinhThinh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Dạng bài này thuộc loại tam thức bậc hai:

 

$\left ( 1+ \sqrt{3} \right )\left ( 4\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 4\left ( ab+ bc+ ca \right ) \geqq 0$

 

$$\Leftrightarrow \Delta_{a}= -\frac{16\left ( 5\sqrt{3}\,b^{2}+ 9\,b^{2}- 10\sqrt{3}\,bc- 18\,bc+ 5\sqrt{3}\,c^{2}+ 9\,c^{2} \right )}{1+ \sqrt{3}}= -\frac{16\left ( 9+ 5\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}}{1+ \sqrt{3}}= -16\left ( 3+ 2\sqrt{3} \right )\left ( b- c \right )^{2}\leqq 0$$

 

Một ví dụ khác:

 

$$\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ kbc}\geqq 2\sqrt{\frac{1}{k^{2}+ 1}}\,\,\left ( k\geqq 0 \right )$$

 

$$\Leftrightarrow  \left ( b^{2}+ a^{2}- 2\,bc+ c^{2} \right )\left ( b^{2}+ a^{2}+ 2\,bc+ c^{2} \right )k^{2}- 8\,b^{2}cak+ \left ( b^{2}+ 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\left ( b^{2}- 2\,ba+ a^{2}+ c^{2} \right )\geqq 0$$

 

$$\Leftrightarrow  \Delta_{k}= - \left \{ 2 \left [ \left ( x^{2}+ z^{2} \right )^{2}- {y^{2}}^{2} \right ] \right \}^{2}$$

Anh ơi cho em hỏi, đây là phương pháp gì vậy ạ? Em thấy hay quá nên muốn học :ohmy:



#7
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Anh ơi cho em hỏi, đây là phương pháp gì vậy ạ? Em thấy hay quá nên muốn học :ohmy:

Mình cũng đang tìm hiểu ,hình như kiến thức lớp 10




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh