Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+...$

0404

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-07-2018 - 19:16

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 08-07-2018 - 19:17

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 08-07-2018 - 21:48

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 08-07-2018 - 21:48

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#3 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 21:51

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .

MỘT CÁCH LÀM HAY KHI SỬ DỤNG SOS, CÁI MAY MẮN Ở ĐÂY LÀ CÁC HỆ SỐ ĐỀU DƯƠNG



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 09-07-2018 - 15:05

$$\left ( \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{b\left ( c+ a \right )}{c^{2}+ a^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{c\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ b^{2}} \right )^{-1}\,\geqq\, \frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ bc+ ca}$$

 

Spoiler

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh