3 replies to this topic

[conankun]

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Edited by conankun, 08-07-2018 - 19:17.

[viet9a14124869]

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .

Edited by viet9a14124869, 08-07-2018 - 21:48.

[Ha Minh Hieu]

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .

MỘT CÁCH LÀM HAY KHI SỬ DỤNG SOS, CÁI MAY MẮN Ở ĐÂY LÀ CÁC HỆ SỐ ĐỀU DƯƠNG

[DOTOANNANG]

$$\left ( \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{b\left ( c+ a \right )}{c^{2}+ a^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{c\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ b^{2}} \right )^{-1}\,\geqq\, \frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ bc+ ca}$$

 

Spoiler

$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}\left ( b- c \right )^{2}\left ( b^{2}+ bc+ c^{2} \right )}{\left ( ab+ bc \right )\left ( bc+ ca \right )\left ( ca+ ab+ bc \right )} \geqq 0$