Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi IMO 2018

imo 2018

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-07-2018 - 19:27

Đề thi viết bằng tiếng anh em sưu tầm được trên mạng. Anh chị tham khảo.

 

Bản dịch Tiếng Việt (By Phạm Quốc Sang)

Bài 1:.Gọi $(T)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn 

$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ 

$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$

với mọi $i = 1, 2, \dots, n$

Bài 3: Tam giác anti-Pascal là một tam giác đều gồm các dãy số sao cho:

     Ngoại trừ các chữ số ở hàng cuối cùng thì mỗi số là giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số gần nhất bên dưới nó.

Ví dụ sau đây là một tam giác anti-Pascal với 4 hàng chứa các số từ $1$ tới $10$:          

$4$

$2$       $6$

$5$        $7$        $1$

         $8$        $3$       $10$        $9$      

Tồn tại hay không một tam giác anti-Pascal với $2018$ hàng, chứa mỗi số nguyên từ $1$ tới $1+2+…+2018$?

Hình gửi kèm

  • ava1.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 09-07-2018 - 20:41

                       $\large \mathbb{Conankun}$CHTer! Start a new way! :)


#2 Hr MiSu

Hr MiSu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 09-07-2018 - 20:19

Mình dịch tạm nha

File gửi kèm

  • File gửi kèm  Bài 1.pdf   179.38K   307 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 09-07-2018 - 20:21

s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#3 lenadal

lenadal

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Lê Hồng Phong Nam Định
  • Sở thích:số học

Đã gửi 09-07-2018 - 20:30

Bài 2: Ý tưởng chứng minh
a_i=a_i+3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 09-07-2018 - 20:32

Lê Đình Văn LHP    :D  :D  :D 

http://diendantoanho...150899-lenadal/


#4 PhamQuocSang

PhamQuocSang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam
  • Sở thích:chẳng thích gì

Đã gửi 09-07-2018 - 20:41

 

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $T$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

 

Gọi $M$, $N$, $M'$, $N'$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, cung nhỏ $AC$, cung lớn $ACB$, và cung lớn $ABC$. Gọi $O$ là tâm của đường tròn $\Gamma$.\\ Lấy điểm $K \neq F$ trên $\Gamma$ sao cho $FK$ và $MM'$ song song, lấy điểm $L \neq G$ trên $\Gamma$ sao cho $GL$ và $NN'$ song song.\\ Ta dễ thấy rằng khoảng cách giữa $FK$ và $MM'$ thì bằng một nữa của $AD$ = $AE$, và cùng bằng khoảng cách giữa $GL$ và $NN'$.\\ Từ đó ta có $MM'KF$ là hình thang cân, tương tự $N'NGL$ là hình thang cân, và do $MF = M'K = NG.$ Nên $MNGF$ là hình thang cân. Ta dễ thấy rằng $MN$ và $DE$ cùng vuông góc với phân giác góc $\angle BAC$ nên ta suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamQuocSang: 09-07-2018 - 20:43


#5 PhamQuocSang

PhamQuocSang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam
  • Sở thích:chẳng thích gì

Đã gửi 09-07-2018 - 20:42

 

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn 

$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$ 

$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$

với mọi $i = 1, 2, \dots, n$

 

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$



#6 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 09-07-2018 - 20:43

BÀI 1:

Ý TƯỞNG CHỨNG MINH:

XÉT 2TH:

+, TAM GIÁC ABC CÂN TẠI A VÀ D,E TRUNG VỚI B,C => BÀI TOÁN HIỂN NHIÊN ĐÚNG

+, TAM GIÁC ABC LÀ TAM GIÁC BÌNH THƯỜNG

KHI ĐÓ ÁP DỤNG HỆ TỌA ĐỘ TỈ CỰ TA TÌM TỌA ĐỘ CỦA CÁC ĐIỂM D,E,F,G ( ĐIỀU NÀY HOÀN TOÀN LÀM ĐƯỢC THEO HỆ THỨC JACOBI)

=> LẬP MA TRẬN THỂ HIỆN SỰ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG NÀY => ĐPCM



#7 Hr MiSu

Hr MiSu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 09-07-2018 - 21:42

G ọi, M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC,NC,MB

Ta có MQ=AD/2=AE/2=NP suy ra khoảng cách từ O tới FH,GH là bằng nhau suy ra g óc FOH= g óc HOG

Do đó OH là phân giác của g óc FOG v à g óc FHG , từ đó dễ suy ra FG // DE do cùng vuông góc với phân giác góc A


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#8 bonly01

bonly01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 10-07-2018 - 11:44

Lời giải bài 1 và 2 của ngày thứ nhất https://www.facebook...3&theater&ifg=1



#9 Minhnksc

Minhnksc

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 297 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:Algebraic and enumerative combinatoric :V

Đã gửi 10-07-2018 - 18:45

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi :D]

36937009_2159115877704465_8505443157834465280_n.jpg


  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 


#10 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 10-07-2018 - 21:42

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$

 

Doan nay la vi sao ?


  • yrt yêu thích

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#11 Serinkain

Serinkain

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 11-07-2018 - 00:16

Bài 1:
Gọi GE, FD cắt (O) tại S, T. Thấy rằng AS=AE. Tương tự AD=AT. Như vậy SDET nội tiếp <=> DE//FG.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serinkain: 11-07-2018 - 00:18


#12 Le Hoang Anh Tuan

Le Hoang Anh Tuan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2018 - 22:45

Bài 4, ý tưởng của em là chứng minh trong 1 hình vuông nhỏ 8x8 có thể đặt được nhiều nhất 32 con mã nếu không có sự can thiệp của Bảo, có rồi nên chỉ còn 16, ý tưởng là vẽ đan xen nha mn <3



#13 toantinhoc

toantinhoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 12-07-2018 - 04:48

Ngày thi thứ hai:

[Mình lười không đánh latex nên chỉ có thế này thôi :D]

attachicon.gif36937009_2159115877704465_8505443157834465280_n.jpg

  1. Một vị trí là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng sao cho $x,y$ là các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng $20$. Lúc đầu tất cả $400$ ví trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá vào các vị trí trống với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai viên đá màu đỏ bất kỳ là khác $\sqrt{5}$ và Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kỳ. Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể đặt được các viên đá. Tìm số $K$ lớn nhất sao cho Ánh luôn đặt được ít nhất $K$ viên đá mà không phụ thuộc cách đặt đá của Bảo.
  2. Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$.
  3. Một tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB \cdot CD = BC \cdot DA $. Điểm $X$ nằm bên trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle{XAB} = \angle{XCD}$, $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Chứng minh rằng $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^0 $.

Tổng hợp tài liệu Toán học - Đề thi Đáp án Toán

E-book: Các Đề Thi Toán Tại Việt Nam

http://www.molympiad.ml/


#14 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 12-07-2018 - 21:52

Kết quả chính thức IMO 2018

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 12-07-2018 - 21:53


#15 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:Thích sở thích của người mình thích

Đã gửi 14-07-2018 - 11:59

IMO năm nay nhiều bài đơn giản quá, đặc biệt là phần hình học,nhiều kết quả quen thuộc được lặp lại


                    Không kho báu nào quý bằng học thức.

                             Hãy tích lũy lấy nó lúc bạn còn đủ sức.

                                                                                   A. Ru- Đa- Ki   :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo 2018

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh