Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bài tập đại số đại cương

bài tập đại số đại cương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tamthien19

tamthien19

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết

Đã gửi 10-07-2018 - 03:04

Bài 1. Cho X là nhóm hữu hạn và f: X---->Y là đồng cấu nhóm.

a. Chứng minh với x thuộc X, cấp của X chia hết cho cấp của f(x)

b. Chứng minh rằng cấp của X chia hết cho cấp của imf

c. Mô tả các đồng cấu nhóm từ nhóm cộng Z21 đến nhóm cộng Z40

Bài 2. Cho Z[x (vành các đa thức trên vành số nguyên Z). Xét tập con:

= {f(x)thuộc Z[x] |f(0)chia hết cho 3}

a. Chứng minh rằng I là iđean của vành Z[x

b. Chứng minh I là iđean sinh bởi 2 phần từ x và 3

c. Chứng minh rằng vành thương Z[x /I là trường. Tính số phần tử của trường này

Bài 3. cho A là miền nguyên, a thuộc A, A[x] là vình các đa thức với các hệ số thuộc A. Kí hiệu: 

= {f(x)thuộc Z[x] | f(a)=0}

a. Chứng minh I là idean của A[x]

b. Chứng minh I là idean chính. Tìm phần tử sinh của I

c. Chứng minh vành thương A[x /I đẳng cấu với A

Bài 4. Q(3)= {a+b3| a,b thuộc Q}

a. Chứng minh  Q(3) là trường con của trường số thực R

b. Tìm tất cả các tự đẳng cấu của trường Q(3)



#2 Heuristic

Heuristic

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2020 - 03:38

Bài 1.

 

a. Giả sử cấp của $x$ là $n$. Thế thì $x^n=e$. Do $f$ là đồng cấu nhóm, $f(x)^n=f(x^n)=f(e)=e$, vậy nên $n$ chia hết cho cấp của $f(x)$. Mặt khác, cấp của $X$ chia hết cho $n$. Suy ra cấp của $X$ chia hết cho cấp của $f(x)$.
b. Sử dụng đẳng cấu $\mathrm{Im}f\sim X/\ker f$, ta có cấp của $X$ chia hết cho cấp của $\mathrm{im}f$, với thương bằng cấp của $\ker f$.
c. Xét $n=$ cấp của $\mathrm{im}f$. $21$ chia hết cho $n$. $40$ chia hết cho $n$. Suy ra $n=1$. Vậy đồng cấu duy nhất tồn tại là đồng cấu tầm thường.
Bài 2a:

 

Để chứng minh $I$ là iđêan, có 2 ý: (i) $I$ là nhóm con (ii) $I$ ổn định dưới phép nhân trái.

 

Nhóm con thì rõ rồi: $f(0)$ chia hết cho $3$ và $g(0)$ chia hết cho $3$ sẽ suy ra $(f+g)(0)=f(0)+g(0)$ chia hết cho $3$. Ổn định dưới phép nhân cũng tương tự: $f(0)$ chia hết cho $3$ thì $(gf)(0)=g(0)f(0)$ cũng chia hết cho $3$.

 

Kết luận: $I$ là một iđêan của vành $\mathbb{Z}[X]$,

 

2b: Viết một phần tử $f\in I$ dưới dạng $3k+xP$ là xong.

 

2c: Vành thương này đẳng cấu với trường $\mathbb{Z}/3$, có 3 phần tử: $0,1,2$. Có thể xét ánh xạ $\mathbb{Z}[X]\xrightarrow{\mathrm{ev}_0}\mathbb{Z}\xrightarrow{\pi}\mathbb{Z}/3$, có kernel đúng bằng $I$, do đó theo định lý thương, ta có đẳng cấu đã nêu.

 

Bài 3: chỉ cần sửa đổi bài 2 cho phù hợp với một miền nguyên $A$ bất kì là được.

 

Bài 4a:

 

Giả sử $a+b\sqrt{3}$ khác $0$. Thế thì $(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=a^2-3b^2\neq 0$ (vì $\sqrt{3}$ là số vô tỷ). Do đó $a+b\sqrt{3}$ là một phần tử khả nghịch. Một vành có mọi phần tử khác $0$ khả nghịch thì là một trường.

 

4b: Xét $f$ một tự đẳng cấu. Thế thì $(f(\sqrt{3}))^2=f((\sqrt{3})^2)=f(3)=3$. Suy ra $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$ hoặc $-\sqrt{3}$. Ta thử lại để thấy rằng mỗi giá trị của $f(\sqrt{3})$ đều xác định một tự đẳng cấu tương ứng. Vậy $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ có 2 tự đẳng cấu: $\sqrt{3}\mapsto \sqrt{3}$ và $\sqrt{3}\mapsto-\sqrt{3}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-11-2020 - 22:30





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh