Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$$\sum \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{15(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 6(a+b+c)$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 12-07-2018 - 10:56

Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{15(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 6(a+b+c)$$



#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Trung úy

  • Thành viên
  • 844 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 12-07-2018 - 16:17

[chặt hơn]

 

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Trung úy

  • Thành viên
  • 844 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 12-07-2018 - 17:00

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )$$

 

$$\Leftrightarrow  \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{k\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- \left ( k- 3 \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}$$

 

với $k= 6$

 

[hằng số tốt nhất bằng $k\cong 6.\,17080013597235$ là nghiệm của $x^{4}- 11\,x^{3}+ 72\,x^{2}- 304\,x+ 269= 0$]



#4 phuonganhbx

phuonganhbx

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Sun

Đã gửi 12-07-2018 - 17:36

[chặt hơn]

 

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]

Anh giải thích hộ e cyc là gì ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganhbx: 12-07-2018 - 17:37


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Trung úy

  • Thành viên
  • 844 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 13-07-2018 - 07:19

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$

 

và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !



#6 phuonganhbx

phuonganhbx

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Sun

Đã gửi 13-07-2018 - 08:33

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$

 

và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !

à em cảm ơn ạ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh