Chủ đề này có 5 trả lời

[tr2512]

Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{15(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 6(a+b+c)$$

[DOTOANNANG]

[chặt hơn]

 

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )$$

 

$$\Leftrightarrow  \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{k\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- \left ( k- 3 \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}$$

 

với $k= 6$

 

[hằng số tốt nhất bằng $k\cong 6.\,17080013597235$ là nghiệm của $x^{4}- 11\,x^{3}+ 72\,x^{2}- 304\,x+ 269= 0$]

[phuonganhbx]

[chặt hơn]

 

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$

 

[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]

Anh giải thích hộ e cyc là gì ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganhbx: 12-07-2018 - 17:37

[DOTOANNANG]

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$

 

và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !

[phuonganhbx]

Ta có:

 

$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$

 

và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !

à em cảm ơn ạ